Задание 3. В дереве 100 вершин. Найдите среднее арифметическое степеней всех вершин этого дерева
Чтобы найти среднее арифметическое степеней всех вершин в дереве с 100 вершинами, давайте сначала разберемся с ключевыми понятиями.
Шаг 1: Понимание дерева и степеней вершин
Дерево — это связный граф без циклов. У него есть особое свойство: если в дереве \( n \) вершин, то количество рёбер (связей между вершинами) будет равно \( n - 1 \). Это значит, что для дерева с 100 вершинами количество рёбер будет \( 100 - 1 = 99 \).
Степень вершины — это количество рёбер, к которым она соединена. В дереве любой рёбер соединяет две вершины, поэтому общее количество всех степеней всех вершин в дереве будет дважды количество рёбер (поскольку каждое ребро добавляет 1 к степени каждой из двух соединённых вершин).
Шаг 2: Вычисление суммы степеней
Обозначим степени вершин в дереве как \( d_1, d_2, ..., d_{100} \). Сумма всех степеней будет равна:
\[ S = d_1 + d_2 + ... + d_{100} \]
Согласно свойству графов, эта сумма равна удвоенному количеству рёбер:
\[ S = 2 \times \text{(количество рёбер)} = 2 \times 99 = 198 \]
Шаг 3: Вычисление среднего арифметического
Среднее арифметическое степеней вершин можно найти по формуле:
\[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{S}{n} \]
где \( S \) — сумма степеней, а \( n \) — количество вершин. В нашем случае:
\[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{198}{100} = 1.98 \]
Ответ
Среднее арифметическое степеней всех вершин данного дерева составляет \( 1.98 \).
Таким образом, мы нашли, что в дереве с 100 вершинами средняя степень вершины составляет 1.98. Это означает, что в среднем каждая вершина соединена примерно с двумя другими вершинами (с учётом округления, если бы у нас были целые числа).
