С какой начальной скоростью v, надо бросить вниз мяч с высоты h = 15 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 2h ? Считать удар о землю абсолютно упругим.
Для решения задачи будем использовать законы сохранения энергии и законы движения.
Условия задачи:
- Высота броска \( h = 15 \) м.
- Высота подпрыгивания \( 2h = 30 \) м.
- Удар считается абсолютно упругим, это значит, что вся кинетическая энергия при ударе о Землю превращается в потенциальную энергию при подъеме.
Потенциальная энергия на высоте 2h:
Когда мяч подпрыгивает на высоту \( 2h \), его потенциальная энергия определяется как:
\[ PE = mgh' = mg(2h) \]
где \( m \) — масса мяча, \( g \) — ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²), и \( h' = 2h \).Кинетическая энергия перед ударом:
Когда мяч достигнет земли, он будет иметь кинетическую энергию, которая равна первоначальной кинетической энергии при броске: \[ KE = \frac{1}{2} mv^2 \]
где \( v \) — скорость мяча при броске.Сохранение энергии:
При падении мяча с высоты \( h \), его потенциальная энергия преобразуется в кинетическую: \[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 \]Отсюда можно выразить начальную скорость \( v \) при броске: \[ gh = \frac{1}{2} v^2 \] Разделим обе стороны уравнения на \( m \) (масса сокращается, так как m не равна 0): \[ gh = \frac{1}{2} v^2 \implies v^2 = 2gh \implies v = \sqrt{2gh} \]
Кинетическая энергия при ударе:
После удара о землю, вся кинетическая энергия пойдет на подъем до высоты \( 2h \): \[ \frac{1}{2} mv^2 = mg(2h) \]После сокращения \( m \): \[ \frac{1}{2} v^2 = 2gh \implies v^2 = 4gh \implies v = \sqrt{4gh} = 2\sqrt{gh} \]
Объединим все это:
Для того, чтобы мяч при броске вниз с высоты \( h \) достиг высоты \( 2h \) при абсолютно упругом ударе, требуется скорость: \[ v = 2\sqrt{gh} \]
Теперь подставим \( g \approx 9.81 \) м/с² и \( h = 15 \) м: \[ v = 2\sqrt{9.81 \cdot 15} \approx 2\sqrt{147.15} \approx 2 \cdot 12.13 \approx 24.26 \text{ м/с} \]
Таким образом, начальная скорость, с которой нужно бросить мяч вниз, составляет примерно 24.26 м/с.
