С какой начальной скоростью v, надо бросить вниз мяч с высоты h = 15 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 2h ? Считать удар о землю абсолютно упругим.

Для решения задачи будем использовать законы сохранения энергии и законы движения. 1. **Условия задачи:** - Высота броска \( h = 15 \) м. - Высота подпрыгивания \( 2h = 30 \) м. - Удар считается абсолютно упругим, это значит, что вся кинетическая энергия при ударе о Землю превращается в потенциальную энергию при подъеме. 2. **Потенциальная энергия на высоте 2h:** Когда мяч подпрыгивает на высоту \( 2h \), его потенциальная энергия определяется как: \[ PE = mgh' = mg(2h) \] где \( m \) — масса мяча, \( g \) — ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²), и \( h' = 2h \). 3. **Кинетическая энергия перед ударом:** Когда мяч достигнет земли, он будет иметь кинетическую энергию, которая равна первоначальной кинетической энергии при броске: \[ KE = \frac{1}{2} mv^2 \] где \( v \) — скорость мяча при броске. 4. **Сохранение энергии:** При падении мяча с высоты \( h \), его потенциальная энергия преобразуется в кинетическую: \[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 \] Отсюда можно выразить начальную скорость \( v \) при броске: \[ gh = \frac{1}{2} v^2 \] Разделим обе стороны уравнения на \( m \) (масса сокращается, так как m не равна 0): \[ gh = \frac{1}{2} v^2 \implies v^2 = 2gh \implies v = \sqrt{2gh} \] 5. **Кинетическая энергия при ударе:** После удара о землю, вся кинетическая энергия пойдет на подъем до высоты \( 2h \): \[ \frac{1}{2} mv^2 = mg(2h) \] После сокращения \( m \): \[ \frac{1}{2} v^2 = 2gh \implies v^2 = 4gh \implies v = \sqrt{4gh} = 2\sqrt{gh} \] 6. **Объединим все это:** Для того, чтобы мяч при броске вниз с высоты \( h \) достиг высоты \( 2h \) при абсолютно упругом ударе, требуется скорость: \[ v = 2\sqrt{gh} \] Теперь подставим \( g \approx 9.81 \) м/с² и \( h = 15 \) м: \[ v = 2\sqrt{9.81 \cdot 15} \approx 2\sqrt{147.15} \approx 2 \cdot 12.13 \approx 24.26 \text{ м/с} \] Таким образом, начальная скорость, с которой нужно бросить мяч вниз, составляет примерно **24.26 м/с**.