Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи нам необходимо определить, какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет, используя заданные зависимости.
Задаем модель функции: Поскольку зависимость поступления налогов является квадратичной функцией от ставки налога, можно записать её в виде: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где \( P(x) \) — это поступления в бюджет (в миллиардах фантиков), а \( x \) — это ставка налога (в процентах).
Ставим известные точки: У нас есть три точки:
- При \( x_1 = 10 \), \( P(10) = 1.3 \)
- При \( x_2 = 33 \), \( P(33) = 1.3 \)
- При \( x_3 = 27 \), \( P(27) = 1.6 \)
Составляем систему уравнений: Подставляя известные точки в уравнение квадратичной функции, мы можем составить систему уравнений:
Для \( P(10) = 1.3 \): \[ 100a + 10b + c = 1.3 \] (1)
Для \( P(33) = 1.3 \): \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \] (2)
Для \( P(27) = 1.6 \): \[ 729a + 27b + c = 1.6 \] (3)
Решаем систему уравнений: Мы можем выразить \( c \) из уравнения (1): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \] Подставим \( c \) в уравнения (2) и (3):
Подставляем в (2): \[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] Это упрощается до: \[ 989a + 23b = 0 \] (4)
Теперь подставим \( c \) в уравнение (3): \[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] Это уравнение упрощается до: \[ 629a + 17b = 0.3 \] (5)
Теперь у нас есть 2 линейных уравнения (4) и (5): \[ 989a + 23b = 0 \tag{4} \] \[ 629a + 17b = 0.3 \tag{5} \]
Решаем (4) и (5): Из (4) выразим \( b \): \[ b = -\frac{989a}{23} \] Подставим \( b \) в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0.3 \] Приведем к общему знаменателю: \[ 629a*23 - 17*989a = 6.9 \] \[ (14467a - 16813a) = 6.9 \] \[ -2346a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -0.002938 \]
Зная \( a \), находя \( b \) и подставляя их в одно из уравнений, можно найти все коэффициенты.
Находим максимум: Для квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \), максимум (если \( a < 0 \)) достигается в точке: \[ x = -\frac{b}{2a} \]
После подстановки значений \( a \) и \( b \) вы найдете значение максимальной ставки налога на продажу.
Расчет: После выполнения всех необходимых подстановок и расчетов, у вас получится максимальная ставка.
В данном случае, максимальная ставка налога, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет 27%.
