Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если длину увеличить на 6 дм, а ширину — на 2 дм, то площадь его увеличится на 48 дм². Найдите длину и ширину прямоугольника

Давайте решим задачу шаг за шагом. 1. **Обозначим переменные:** - Пусть ширина прямоугольника равна \( x \) дм. - Тогда длина прямоугольника будет \( 3x \) дм, так как она в 3 раза больше ширины. 2. **Напишем формулу для площади:** - Площадь исходного прямоугольника будет равна: \[ S_1 = \text{длина} \times \text{ширина} = 3x \cdot x = 3x^2. \] 3. **Условия изменения размеров:** - Если длину увеличить на 6 дм, новая длина будет \( 3x + 6 \) дм. - Если ширину увеличить на 2 дм, новая ширина будет \( x + 2 \) дм. - Новая площадь прямоугольника будет равна: \[ S_2 = (3x + 6)(x + 2). \] 4. **Площадь увеличивается на 48 дм²:** - По условию задачи, новая площадь равна старой площади плюс 48 дм²: \[ S_2 = S_1 + 48 \implies (3x + 6)(x + 2) = 3x^2 + 48. \] 5. **Раскроем скобки:** \[ S_2 = (3x + 6)(x + 2) = 3x^2 + 6x + 6x + 12 = 3x^2 + 12x + 12. \] 6. **Составим уравнение:** - Теперь подставим \( S_1 \) в наше уравнение: \[ 3x^2 + 12x + 12 = 3x^2 + 48. \] 7. **Упростим уравнение:** - Отнимем \( 3x^2 \) с обеих сторон: \[ 12x + 12 = 48. \] - Теперь отнимем 12 от обеих сторон: \[ 12x = 36. \] - Разделим обе стороны на 12: \[ x = 3. \] 8. **Найдем длину и ширину:** - Ширина \( x = 3 \) дм. - Длина \( 3x = 3 \cdot 3 = 9 \) дм. 9. **Ответ:** - Ширина прямоугольника равна 3 дм, а длина равна 9 дм. Таким образом, длина прямоугольника составляет 9 дм, а ширина — 3 дм.