Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если длину увеличить на 6 дм, а ширину — на 2 дм, то площадь его увеличится на 48 дм². Найдите длину и ширину прямоугольника

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим переменные:

   • Пусть ширина прямоугольника равна \( x \) дм.
   • Тогда длина прямоугольника будет \( 3x \) дм, так как она в 3 раза больше ширины.

2. Напишем формулу для площади:

   • Площадь исходного прямоугольника будет равна: \[ S_1 = \text{длина} \times \text{ширина} = 3x \cdot x = 3x^2. \]

3. Условия изменения размеров:

   • Если длину увеличить на 6 дм, новая длина будет \( 3x + 6 \) дм.
   • Если ширину увеличить на 2 дм, новая ширина будет \( x + 2 \) дм.
   • Новая площадь прямоугольника будет равна: \[ S_2 = (3x + 6)(x + 2). \]

4. Площадь увеличивается на 48 дм²:

   • По условию задачи, новая площадь равна старой площади плюс 48 дм²: \[ S_2 = S_1 + 48 \implies (3x + 6)(x + 2) = 3x^2 + 48. \]

5. Раскроем скобки: \[ S_2 = (3x + 6)(x + 2) = 3x^2 + 6x + 6x + 12 = 3x^2 + 12x + 12. \]

6. Составим уравнение:

   • Теперь подставим \( S_1 \) в наше уравнение: \[ 3x^2 + 12x + 12 = 3x^2 + 48. \]

7. Упростим уравнение:

   • Отнимем \( 3x^2 \) с обеих сторон: \[ 12x + 12 = 48. \]
   • Теперь отнимем 12 от обеих сторон: \[ 12x = 36. \]
   • Разделим обе стороны на 12: \[ x = 3. \]

8. Найдем длину и ширину:

   • Ширина \( x = 3 \) дм.
   • Длина \( 3x = 3 \cdot 3 = 9 \) дм.

9. Ответ:

   • Ширина прямоугольника равна 3 дм, а длина равна 9 дм.

Таким образом, длина прямоугольника составляет 9 дм, а ширина — 3 дм.