Задание 10. В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 333 рубля с копейками. Тогда…
Задание 10. В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 333 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 350 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа предоставленной информации и шагов, которые нам нужно предпринять.
Данные:
- У акционера Б. есть акции ценой: 100, 200, 300, 400 и 500 рублей.
- Средняя цена акций Б. равна 333.
- После покупки еще одной акции за 500 рублей, средняя цена акций не достигла 350 рублей.
Символические обозначения:
- Пусть \( n \) — количество акций до покупки последней акции.
- Сумма цен акций до покупки будет равна \( S = 333n \) (так как средняя цена 333 рубля).
- После покупки еще одной акции за 500 рублей, новая сумма цен станет \( S + 500 = 333n + 500 \).
- Общее количество акций теперь \( n + 1 \).
Условия средней цены после покупки акций: Средняя цена акций после покупки не должна достигать 350 рублей, т.е.: \[ \frac{333n + 500}{n + 1} < 350. \]
Умножим обе стороны на \( n + 1 \) (что всегда положительно): \[ 333n + 500 < 350(n + 1). \] Раскроем скобки: \[ 333n + 500 < 350n + 350. \] Переместим все термины, содержащие \( n \), в одну часть: \[ 500 < 350n - 333n + 350. \] Упростим неравенство: \[ 500 < 17n + 350. \] Выразим \( n \): \[ 500 - 350 < 17n, \] \[ 150 < 17n, \] \[ n > \frac{150}{17} \approx 8.82. \] Поскольку число акций должно быть целым, округляем до ближайшего целого числа: \( n \geq 9 \).
Проверим, что это значение удовлетворяет условиям задачи: Если \( n = 9 \):
- Сумма цен акций: \( S = 333 \times 9 = 2997 \).
- После покупки акции за 500 рублей: \( S + 500 = 2997 + 500 = 3497 \).
- Общее количество акций: \( n + 1 = 10 \).
- Средняя цена теперь: \[ \frac{3497}{10} = 349.7 < 350. \] Это условие выполняется.
Проверяем меньшие значения \( n \): Если \( n = 8 \):
- Сумма: \( S = 333 \times 8 = 2664 \).
- После покупки: \( S + 500 = 2664 + 500 = 3164 \).
- Общее количество: \( 8 + 1 = 9 \).
- Средняя цена: \[ \frac{3164}{9} \approx 351.56 > 350. \] Это значение не подходит.
Итак, наименьшее количество акций, которые мог иметь акционер Б. до покупки последней акции, составляет 9 акций.
