Задумали трёхзначное число, последняя цифра, которого не равна нулю из него вычли трёхзначное, записанная теми же цифрами в обратном порядке получили число 297, найди все числа 900 и обладающие таким свойством.
Чтобы решить задачу, запишем трёхзначное число в общем виде. Обозначим трёхзначное число как \( xyz \), где \( x \) — первая цифра (десятки), \( y \) — вторая цифра (сотни), и \( z \) — третья цифра, которая не равна нулю.
Это число можно записать в виде:
\[
N = 100x + 10y + z
\]
где:
- \( x \) может принимать значения от 1 до 9 (так как это трёхзначное число).
- \( y \) и \( z \) могут принимать значения от 0 до 9, при этом \( z \neq 0 \).
Теперь, если мы перевернём это число, мы получим \( zyx \), и его значение можно записать как:
\[
M = 100z + 10y + x
\]
По условию задачи, мы из числа \( N \) вычитаем число \( M \) и получаем 297:
\[
N - M = 297
\]
Подставим выражения для \( N \) и \( M \):
\[
(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 297
\]
Упрощаем уравнение:
\[
100x + 10y + z - 100z - 10y - x = 297
\]
\[
99x - 99z = 297
\]
\[
99(x - z) = 297
\]
Делим обе стороны на 99:
\[
x - z = 3
\]
Теперь мы получили, что первая цифра \( x \) больше третьей цифры \( z \) на 3. Следовательно:
\[
x = z + 3
\]
Поскольку \( z \) не может превышать 6 (иначе \( x \) будет больше 9, что недопустимо для первой цифры), возможные значения \( z \) от 1 до 6. Теперь перечислим все комбинации, учитывая, что \( z \) - это последняя цифра (которая не равна 0) и проверяем соответствие \( x \):
- Если \( z = 1 \), то \( x = 1 + 3 = 4 \). Число: 41y (y может быть от 0 до 9, значит числа: 410, 411, 412, ..., 419)
- Если \( z = 2 \), то \( x = 2 + 3 = 5 \). Число: 52y (числа: 520, 521, 522, ..., 529)
- Если \( z = 3 \), то \( x = 3 + 3 = 6 \). Число: 63y (числа: 630, 631, 632, ..., 639)
- Если \( z = 4 \), то \( x = 4 + 3 = 7 \). Число: 74y (числа: 740, 741, 742, ..., 749)
- Если \( z = 5 \), то \( x = 5 + 3 = 8 \). Число: 85y (числа: 850, 851, 852, ..., 859)
- Если \( z = 6 \), то \( x = 6 + 3 = 9 \). Число: 96y (числа: 960, 961, 962, ..., 969)
Теперь перечислим все трёхзначные числа, удовлетворяющие условию:
- 410, 411, ..., 419
- 520, 521, ..., 529
- 630, 631, ..., 639
- 740, 741, ..., 749
- 850, 851, ..., 859
- 960, 961, ..., 969
Таким образом, все числа, согласно условиям задачи, находятся в диапазонах, которые мы перечислили.
Можно сделать вывод, что трёхзначное число, удовлетворяющее условиям, может быть любым из указанных, где последняя цифра не равна нулю и первая цифра на 3 больше последней.
