Для решения задачи, давайте сначала поймем, что нам нужно. У нас есть уравнение для ускорения трамвая, которое зависит от расстояния ( s ) (расстояние от остановки А до текущего положения трамвая):
[
a = 1 - 0.005s
]
А также, что мы знаем, что ускорение – это производная скорости по времени, а скорость – это производная расстояния по времени. Мы можем использовать это, чтобы найти искомое расстояние между остановками.
Шаг 1: Перепишем уравнение ускорения
Ускорение ( a ) можно записать через скорость ( v ):
[
a = \frac{dv}{dt}
]
Но также мы знаем, что:
[
a = \frac{dv}{ds} \cdot v
]
где ( \frac{dv}{ds} ) – это производная скорости по расстоянию, а ( v ) – это скорость трамвая. Таким образом, получаем:
[
\frac{dv}{ds} \cdot v = 1 - 0.005s
]
Шаг 2: Разделим переменные
Теперь давайте разделим переменные и упростим уравнение:
[
\frac{dv}{1 - 0.005s} = \frac{ds}{v}
]
Шаг 3: Интегрируем обе стороны
Однако, чтобы продолжить, нам нужно выразить скорость ( v ) через расстояние или ускорение иначе. У нас есть:
[
a = \frac{dv}{dt} = 1 - 0.005s
]
Чтобы получить уравнение, давайте выразим ( s ) через ( t ). Для этого интегрируем уравнение:
- Мы знаем, что конечное ускорение будет равно нулю, когда ( a = 0 ):
[
1 - 0.005s = 0 \Rightarrow s = 200 \text{ м}
]
Шаг 4: Находим скорость и путь
Сначала разберемся с интегрированием, подставляя ( s ):
Интегрируя от 0 до ( s ):
[
\int_0^v dv = \int_0^s (1 - 0.005s) , ds
]
Шаг 5: Решим интегралы
С левой стороны:
[
v \Big|_0^v = v
]
С правой стороны:
[
\int_0^s (1 - 0.005s) , ds = s - 0.0025s^2 \Big|_0^s = s - 0.0025s^2
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
v = s - 0.0025s^2
]
Шаг 6: Находим расстояние
Чтобы узнать, какое будет значение ( s ), когда скорость летит на конечное значение ( v ):
Мы можем сделать это на границе, при ( s = 200 ):
[
v = 200 - 0.0025(200^2) = 200 - 0.0025(40000) = 200 - 100 = 100
]
Итак, максимальное расстояние между остановками:
[
\text{Расстояние } s = 200 \text{ метров.}
]
Ответ:
Расстояние между остановками составляет 200 метров.
