Для решения задачи рассчитаем количество возможных расписаний на день, которое включает 5 уроков и 14 возможных предметов, где каждый предмет может быть выбран только один раз.
Шаг 1: Понимание задачи
Мы имеем 14 разных предметов и хотим составить расписание из 5 уроков. Условия таковы, что каждый предмет может появляться в расписании только один раз.
Шаг 2: Комбинации
Чтобы определить количество возможных расписаний, нам нужно понять, как выбрать 5 предметов из 14. Это можно сделать с помощью формулы комбинаций:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество предметов (в нашем случае 14),
- ( k ) — количество предметов, которые мы выбираем (в нашем случае 5).
Шаг 3: Применение формулы
Подставим наши значения в формулу:
[
C(14, 5) = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14!}{5! \cdot 9!}
]
Шаг 4: Упрощение
Теперь упростим это выражение:
[
C(14, 5) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
Теперь посчитаем числитель:
[
14 \times 13 = 182 \
182 \times 12 = 2184 \
2184 \times 11 = 24024 \
24024 \times 10 = 240240
]
Теперь посчитаем знаменатель:
[
5 \times 4 = 20 \
20 \times 3 = 60 \
60 \times 2 = 120 \
120 \times 1 = 120
]
Теперь разделим числитель на знаменатель:
[
C(14, 5) = \frac{240240}{120} = 2002
]
Шаг 5: Упорядочивание
Теперь нам нужно учесть, что каждый из выбранных 5 предметов может быть расположен в любом порядке. Это значит, что мы должны умножить количество способов выбрать предметы на количество способов, которыми можно их упорядочить.
Количество способов упорядочить 5 предметов — это ( 5! ):
[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
]
Шаг 6: Общее количество расписаний
Теперь мы можем найти общее количество различных расписаний:
[
2002 \times 120 = 240240
]
Ответ
Таким образом, общее количество возможных расписаний с 5 уроками, выбирая из 14 предметов, если ни один предмет не повторяется, составляет 240240 расписаний.
