Сторона основи правильної трикутної піраміди 4 см. Бічна грань утворює з площиною основи кут 60° . знайти об'єм піраміди

Для того чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам необходимо знать площадь ее основания и высоту. ### Шаг 1: Находим площадь основания Основание данной пирамиды является равносторонним треугольником. Сторона основания равна 4 см. Площадь \( S \) равностороннего треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] где \( a \) — длина стороны треугольника. Подставим известные значения: \[ S = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} \text{ см}^2 \] ### Шаг 2: Находим высоту пирамиды Из условия задачи известно, что боковая грань пирамиды образует угол 60° с плоскостью основания. Боковая грань представляет собой треугольник, одним из углов которого является 60°. Высота пирамиды будет перпендикулярной к площади основания и будет образовывать прямоугольный треугольник с половиной стороны основания. Так, чтобы найти высоту, сначала найдем высоту равностороннего треугольника (основания) по формуле: \[ h_{\text{основание}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \text{ см} \] ### Шаг 3: Используем треугольник для нахождения высоты пирамиды Обозначим: - \( h \) — высота пирамиды, - \( l \) — высота боковой грани (или апофема пирамиды), которую мы можем выразить через высоту и угол 60°. По свойствам треугольников, имеем: \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{r} \quad \text{(где r - расстояние от центра основания до стороны)} \] Чтобы найти \( r \), заметим, что это - это радиус описанной окружности равностороннего треугольника: \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см} \] ### Шаг 4: Подставляем в формулу тангенса Используем \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \): \[ \sqrt{3} = \frac{h}{\frac{4\sqrt{3}}{3}} \] Решим это уравнение для \( h \): \[ h = \frac{4\sqrt{3}}{3}\sqrt{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4 \text{ см} \] ### Шаг 5: Находим объем пирамиды Объем \( V \) пирамиды можно найти по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \] Подставляем найденные значения: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = \frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3 \] ### Ответ: Объем правильной треугольной пирамиды составляет \( \frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3 \).