В крупном отделе компании 5 человек получают зарплату 50 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 60 тыс.р., 6 человек получают по 100 тыс.р, и 2 человека – по 120 тыс.р. Перед Новым…

Чтобы решить задачу о распределении премий, нам необходимо сначала понять, как рассчитывается медиана и как её можно увеличить с помощью премий.

Шаг 1: Определим текущие зарплаты сотрудников

1. 5 человек получают по 50 тыс. р.
2. 10 человек получают по 60 тыс. р.
3. 6 человек получают по 100 тыс. р.
4. 2 человека получают по 120 тыс. р.

Составим список всех выплат до премии (в тыс. рублей):

• 5 сотрудников по 50 тыс. р.: 50, 50, 50, 50, 50
• 10 сотрудников по 60 тыс. р.: 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60
• 6 сотрудников по 100 тыс. р.: 100, 100, 100, 100, 100, 100
• 2 сотрудника по 120 тыс. р.: 120, 120

Шаг 2: Составим полный набор выплат без премий

Соберем все зарплаты в один список: \[ 50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120 \]

Шаг 3: Определим текущее количество сотрудников и текущую медиану

Общее количество сотрудников: \[ 5 + 10 + 6 + 2 = 23 \]

Чтобы найти медиану, нужно узнать центральное значение в отсортированном списке. Так как 23 – нечетное число, медиана будет 12-й по счету элемент:

• В отсортированном списке 12-й элемент = 60 тыс. р. (на позиции 12).

Медиана до премии = 60 тыс. р.

Шаг 4: Распределим премии для повышения медианы

Совет директоров выделил 200 тыс. р. на премии. Чтобы максимизировать медиану, целесообразно поднимать зарплату тех сотрудников, у которых зарплата меньше 100 тыс. р., чтобы увеличить 12-ю позицию в списке.

Оптимальные стратегии распределения:

1. Увеличиваем 10 сотрудников, получающих по 60 тыс. р.
2. Увеличиваем 5 сотрудников, получающих по 50 тыс. р.

Мы можем дать премию так, чтобы хотя бы один или несколько сотрудников, которые получают 60 тыс. р., стали получать 100 тыс. р., что заменит 12-ю позицию.

Шаг 5: Распределение 200 тыс. р.

1. Дадим премию в 40 тыс. р. каждому из 5 сотрудников по 50 тыс. р.: \[ 200 \, \text{тыс. р.} \Rightarrow 40 \times 5 = 200 \, \text{тыс. р.} \] Теперь у нас:
   • 5 людей по 90 тыс. р. (ранее 50 тыс. р.)
   • 10 людей по 60 тыс. р.
   • 6 человек по 100 тыс. р. (не изменились)
   • 2 человека по 120 тыс. р. (не изменились)

Таким образом, новый список: \[ 90, 90, 90, 90, 90, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120 \]

Теперь медиана:

• 12-й элемент = 60 тыс. р.

Смотрим дальнейшие варианты:

2. Если всех 10 сотрудников, получающих 60 тыс. р., увеличить до 100 тыс. р.: \[ 100 = 60 + 40, \text{ всего } 10 \times 40 = 400 \text{ тыс. р.} \] Это невозможно из-за лимита в 200 тыс. р.

3. Перераспределим:

   • Поднимем 5 сотрудников с 50 тыс. р. до 100 тыс. р. (каждый получает по 50 тыс. р.):
   • Премии для 5 сотрудников на общую сумму: \[ 5 \times 50 = 250 \text{ тыс. р. (это больше, чем у нас есть)} \]

Регулируем:

Можно попробовать, что-то между, чтобы 10 человек из 60 р. получать всю сумму, или 10 из 60 р. до 80 р. (и оставить 400 р в нарастающем порядке).

Итог:

Наибольшая медиана, которую можно получить, равна 100 тыс. р. (с 90-ми до 100-ти).

Таким образом, наибольшая возможная медиана общих выплат сотрудников в декабре составит 90 тысяч рублей.