постройте график функции: y=√(x⁴+8x²+16) и определите для нее область определения

Для того чтобы построить график функции \( y = \sqrt{x^4 + 8x^2 + 16} \) и определить ее область определения, следуем следующим шагам.

1. Определение области определения

Область определения функции \( y = \sqrt{f(x)} \) зависит от выражения под корнем, которое должно быть неотрицательным, то есть \( f(x) \geq 0 \).

В данном случае: \[ f(x) = x^4 + 8x^2 + 16 \]

Чтобы понять, когда \( f(x) \geq 0 \), можем заметить, что данный многочлен является квадратом:

\[ f(x) = (x^2 + 4)^2 \]

Поскольку \( (x^2 + 4) \) всегда положително для любых значений \( x \) (так как \( x^2 \) всегда неотрицательно, и добавляя 4, мы получаем значение больше нуля), это означает, что:

\[ (x^2 + 4)^2 \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \]

Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа:

\[ x \in (-\infty, +\infty) \]

2. Построение графика функции

Теперь, когда мы знаем, что область определения неограниченная, давайте упростим нашу функцию для построения графика. Мы получаем:

\[ y = \sqrt{(x^2 + 4)^2} = |x^2 + 4| \]

Так как \( x^2 + 4 \) всегда положительно, то:

\[ y = x^2 + 4 \]

Теперь можем построить график функции \( y = x^2 + 4 \).

3. Свойства графика

• Это парабола, направленная вверх, у которой:
  • Вершина: находится в точке \( (0, 4) \)
  • Пересечение с осью Y: происходит при \( x = 0 \), то есть \( y = 4 \)
  • Пересечение с осью X: отсутствует, так как \( y \) никогда не принимает отрицательных значений.

4. График функции

График функции будет выглядеть следующим образом:

• На горизонтальной оси откладываем значения \( x \) (отрицательные и положительные),
• На вертикальной оси — соответствующие значения \( y \) начиная с 4 и поднимаясь вверх.

График — это парабола, уходящая вверх.

Резюме

• Область определения: все действительные числа \( x \in \mathbb{R} \).
• Функция \( y = x^2 + 4 \) имеет вид параbol, вершина которой находится в точке (0, 4).

Таким образом, мы построили функцию и поняли ее область определения. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!