Постройте график функции: y=√(x⁴+8x²+16) и определите для нее область определения

Для того чтобы построить график функции \( y = \sqrt{x^4 + 8x^2 + 16} \) и определить ее область определения, следуем следующим шагам. ### 1. Определение области определения Область определения функции \( y = \sqrt{f(x)} \) зависит от выражения под корнем, которое должно быть неотрицательным, то есть \( f(x) \geq 0 \). В данном случае: \[ f(x) = x^4 + 8x^2 + 16 \] Чтобы понять, когда \( f(x) \geq 0 \), можем заметить, что данный многочлен является квадратом: \[ f(x) = (x^2 + 4)^2 \] Поскольку \( (x^2 + 4) \) всегда положително для любых значений \( x \) (так как \( x^2 \) всегда неотрицательно, и добавляя 4, мы получаем значение больше нуля), это означает, что: \[ (x^2 + 4)^2 \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа: \[ x \in (-\infty, +\infty) \] ### 2. Построение графика функции Теперь, когда мы знаем, что область определения неограниченная, давайте упростим нашу функцию для построения графика. Мы получаем: \[ y = \sqrt{(x^2 + 4)^2} = |x^2 + 4| \] Так как \( x^2 + 4 \) всегда положительно, то: \[ y = x^2 + 4 \] Теперь можем построить график функции \( y = x^2 + 4 \). ### 3. Свойства графика - Это парабола, направленная вверх, у которой: - **Вершина:** находится в точке \( (0, 4) \) - **Пересечение с осью Y:** происходит при \( x = 0 \), то есть \( y = 4 \) - **Пересечение с осью X:** отсутствует, так как \( y \) никогда не принимает отрицательных значений. ### 4. График функции График функции будет выглядеть следующим образом: - На горизонтальной оси откладываем значения \( x \) (отрицательные и положительные), - На вертикальной оси — соответствующие значения \( y \) начиная с 4 и поднимаясь вверх. График — это парабола, уходящая вверх. ### Резюме - Область определения: все действительные числа \( x \in \mathbb{R} \). - Функция \( y = x^2 + 4 \) имеет вид параbol, вершина которой находится в точке (0, 4). Таким образом, мы построили функцию и поняли ее область определения. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!