F (x)=2x³ + 3x² - 4 D (f) = E (t)=

Для функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4 \) нам нужно определить область определения \( D(f) \) и все возможные значения функции \( E(t) \). ### Шаг 1: Определение области определения \( D(f) \) Область определения функции – это множество всех значений \( x \), для которых функция \( f(x) \) определена. В данном случае \( f(x) \) – полином третьей степени, и полиномы определены для всех действительных чисел. Таким образом, область определения будет: \[ D(f) = \mathbb{R} \] ### Шаг 2: Определение значений функции \( E(t) \) Теперь рассмотрим значения, которые может принимать функция \( f(x) \). Для нахождения значений мы должны проанализировать поведение функции. 1. **Найдём производную функции для нахождения критических точек.** Производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 4) = 6x^2 + 6x \] Упрощаем: \[ f'(x) = 6x(x + 1) \] 2. **Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.** \[ 6x(x + 1) = 0 \] То есть: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 \] 3. **Определим знаки производной на промежутках.** - Для \( x < -1 \): \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает) - Для \( -1 < x < 0 \): \( f'(x) < 0 \) (функция убывает) - Для \( x > 0 \): \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает) Таким образом, \( x = -1 \) – это максимум, а \( x = 0 \) – минимум. 4. **Найдем значения функции в этих критических точках.** \[ f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 4 = -2 + 3 - 4 = -3 \] \[ f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 4 = -4 \] 5. **Теперь проанализируем поведение функции на границах.** - Когда \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \). - Когда \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). ### Итак, значения функции \( E(t) \) На основании вышеизложенного, функция \( f(x) \) принимает все значения от \(-3\) до \(+\infty\): \[ E(t) = [-3, +\infty) \] ### Итог - Область определения: \( D(f) = \mathbb{R} \) - Множество значений: \( E(t) = [-3, +\infty) \) Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!