f (x)=2x³ + 3x² - 4 D (f) = E (t)=
Для функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4 \) нам нужно определить область определения \( D(f) \) и все возможные значения функции \( E(t) \).
Шаг 1: Определение области определения \( D(f) \)
Область определения функции – это множество всех значений \( x \), для которых функция \( f(x) \) определена. В данном случае \( f(x) \) – полином третьей степени, и полиномы определены для всех действительных чисел. Таким образом, область определения будет:
\[ D(f) = \mathbb{R} \]
Шаг 2: Определение значений функции \( E(t) \)
Теперь рассмотрим значения, которые может принимать функция \( f(x) \). Для нахождения значений мы должны проанализировать поведение функции.
Найдём производную функции для нахождения критических точек.
Производная функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 4) = 6x^2 + 6x \]
Упрощаем:
\[ f'(x) = 6x(x + 1) \]
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
\[ 6x(x + 1) = 0 \]
То есть:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Определим знаки производной на промежутках.
- Для \( x < -1 \): \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает)
- Для \( -1 < x < 0 \): \( f'(x) < 0 \) (функция убывает)
- Для \( x > 0 \): \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает)
Таким образом, \( x = -1 \) – это максимум, а \( x = 0 \) – минимум.
Найдем значения функции в этих критических точках.
\[ f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 4 = -2 + 3 - 4 = -3 \]
\[ f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 4 = -4 \]
Теперь проанализируем поведение функции на границах.
- Когда \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \).
- Когда \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \).
Итак, значения функции \( E(t) \)
На основании вышеизложенного, функция \( f(x) \) принимает все значения от \(-3\) до \(+\infty\):
\[ E(t) = [-3, +\infty) \]
Итог
- Область определения: \( D(f) = \mathbb{R} \)
- Множество значений: \( E(t) = [-3, +\infty) \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
