Решим задачу о произведении двух последовательных натуральных чисел.
Обозначим два последовательных натуральных числа как ( n ) и ( n + 1 ).
Шаг 1: Запишем условие задачи
Согласно условию, произведение этих чисел на 131 больше их суммы:
[
n(n + 1) = (n + (n + 1)) + 131
]
Шаг 2: Упростим выражение
Сначала упростим сумму ( n + (n + 1) ):
[
n + (n + 1) = 2n + 1
]
Теперь запишем уравнение с учетом этой суммы:
[
n(n + 1) = 2n + 1 + 131
]
Шаг 3: Перепишем уравнение
Теперь упростим правую часть уравнения:
[
n(n + 1) = 2n + 132
]
Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду
Раскроем левую часть:
[
n^2 + n = 2n + 132
]
Теперь перенесем все члены влево:
[
n^2 + n - 2n - 132 = 0
]
Упростим уравнение:
[
n^2 - n - 132 = 0
]
Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения
Теперь мы можем решить квадратное уравнение ( n^2 - n - 132 = 0 ) с помощью формулы:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = -1 ) и ( c = -132 ).
Сначала найдем дискриминант:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529
]
Теперь найдём корни:
[
n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 23}{2}
]
Шаг 6: Посчитаем корни
Рассмотрим два корня:
- ( n = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12 )
- ( n = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11 ) (отрицательное, не подходит, так как мы ищем натуральные числа)
Таким образом, единственный подходящий корень — это:
[
n = 12
]
Ответ
Меньшее из двух последовательных чисел — это ( 12 ).
