Произведение двух последовательных натуральных чисел на 131 больше их суммы. Найдите меньшее из этих чисел
Решим задачу о произведении двух последовательных натуральных чисел.
Обозначим два последовательных натуральных числа как \( n \) и \( n + 1 \).
Шаг 1: Запишем условие задачи
Согласно условию, произведение этих чисел на 131 больше их суммы:
\[ n(n + 1) = (n + (n + 1)) + 131 \]
Шаг 2: Упростим выражение
Сначала упростим сумму \( n + (n + 1) \):
\[ n + (n + 1) = 2n + 1 \]
Теперь запишем уравнение с учетом этой суммы:
\[ n(n + 1) = 2n + 1 + 131 \]
Шаг 3: Перепишем уравнение
Теперь упростим правую часть уравнения:
\[ n(n + 1) = 2n + 132 \]
Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду
Раскроем левую часть:
\[ n^2 + n = 2n + 132 \]
Теперь перенесем все члены влево:
\[ n^2 + n - 2n - 132 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ n^2 - n - 132 = 0 \]
Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения
Теперь мы можем решить квадратное уравнение \( n^2 - n - 132 = 0 \) с помощью формулы:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -1 \) и \( c = -132 \).
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529 \]
Теперь найдём корни:
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 23}{2} \]
Шаг 6: Посчитаем корни
Рассмотрим два корня:
- \( n = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
- \( n = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \) (отрицательное, не подходит, так как мы ищем натуральные числа)
Таким образом, единственный подходящий корень — это:
\[ n = 12 \]
Ответ
Меньшее из двух последовательных чисел — это \( 12 \).
