Для решения вашей задачи мы будем использовать распределение Бернулли и формулу для вычисления вероятности. В данной задаче нам нужно найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 3 раза из 12.
Шаг 1: Определяем параметры задачи
- Общее количество выстрелов (n) = 12
- Количество попаданий (k) = 3
- Вероятность попадания в одну мишень (p) = 0.6
- Вероятность промаха (q) = 1 - p = 0.4
Шаг 2: Используем формулу биномиального распределения
Вероятность того, что из n испытаний происходит k успехов, можно вычислить с помощью биномиальной формулы:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)}
]
где:
- ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, равный ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
- ( p^k ) — вероятность k успехов.
- ( q^{(n-k)} ) — вероятность n-k неудач.
Шаг 3: Рассчитаем биномиальный коэффициент
Для данной задачи:
[
C(12, 3) = \frac{12!}{3! \cdot (12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220
]
Шаг 4: Подставим значения в формулу
Теперь подставим значения в формулу:
[
P(X = 3) = C(12, 3) \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^{(12-3)}
]
[
P(X = 3) = 220 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^9
]
Шаг 5: Вычисления
Сначала найдем ( (0.6)^3 ):
[
(0.6)^3 = 0.216
]
Затем найдем ( (0.4)^9 ):
[
(0.4)^9 \approx 0.000262144
]
Теперь подставим эти значения:
[
P(X = 3) = 220 \cdot 0.216 \cdot 0.000262144
]
Вычислим произведение:
- Сначала найдем ( 220 \cdot 0.216 ):
[
220 \cdot 0.216 \approx 47.52
]
- Затем, ( 47.52 \cdot 0.000262144 ):
[
47.52 \cdot 0.000262144 \approx 0.01245
]
Шаг 6: Округление
Ответ округляем до сотых:
[
P(X = 3) \approx 0.01245 \approx 0.01
]
Ответ
Вероятность того, что стрелок попадет ровно 3 раза, составляет примерно 0.01.
