Задание 3. В дереве 100 вершин. Найдите среднее арифметическое степеней всех вершин этого дерева.

Для того чтобы решить задачу о нахождении среднего арифметического степеней всех вершин в дереве с 100 вершинами, давайте сначала разберемся с понятием "степень вершины".

Степень вершины в графе (в нашем случае — в дереве) — это количество рёбер, которые соединены с этой вершиной. В дереве, как известно, существует одно важное свойство:

• Сумма степеней всех вершин в дереве равна удвоенному числу рёбер.

Теперь рассмотрим дерево с \( n \) вершинами:

• Число рёбер \( m \) в дереве с \( n \) вершинами всегда равно \( n - 1 \). Это свойство дерева связано с тем, что в дереве любой новый узел (или вершина) соединяется с уже существующим узлом (или вершиной), таким образом добавляя ровно одно новое ребро.

В нашем случае, у нас есть 100 вершин, то есть:

• \( n = 100 \)
• Значит, число рёбер \( m = n - 1 = 100 - 1 = 99 \).

Теперь можем применить приведённую формулу:

• Сумма степеней всех вершин в дереве равна \( 2m = 2 \cdot 99 = 198 \).

Чтобы найти среднее арифметическое степеней всех вершин, нам нужно:

1. Разделить сумму степеней на количество вершин: \[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{\text{Сумма степеней}}{\text{Количество вершин}} = \frac{198}{100} = 1.98. \]

Таким образом, среднее арифметическое степеней всех вершин в дереве с 100 вершинами равно \( 1.98 \).

Это значение указывает на то, что в среднем каждая вершина соединена примерно с 2 другими вершинами, что логично для структуры дерева.