Игральный кубик бросают 20 рез. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз. Ответ округлите до тысячных.
Для решения задачи о вероятности выпадения шестёрки при броске игрального кубика мы можем использовать формулу биномиального распределения.
Шаг 1: Определение параметров задачи
В данной задаче:
- Количество бросков \( n = 20 \).
- Успех — это выпадение шестёрки. Вероятность успеха \( p = \frac{1}{6} \) (одно шестое, так как на кубике 6 граней).
- Неудача — это выпадение любой другой грани (1, 2, 3, 4, 5). Вероятность неудачи \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).
- Количество успехов, которые мы хотим получить, \( k = 7 \).
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что произойдут \( k \) успехов в \( n \) испытаниях, вычисляется по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — число сочетаний из \( n \) элементов по \( k \):
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Шаг 3: Расчет каждого элемента
- Вычислим число сочетаний \( C(20, 7) \):
\[ C(20, 7) = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7! \cdot 13!} \]
Вычисляя это:
\[ C(20, 7) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 77520 \]
- Вычислим \( p^k \) и \( q^{n-k} \):
\[ p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^7 = \frac{1}{279936} \]
\[ q^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{20-7} = \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \]
Теперь посчитаем \( \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \):
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \approx 0.1648 \]
Шаг 4: Подстановка в формулу
Теперь мы можем подставить все значения в формулу:
\[ P(X = 7) = 77520 \cdot \frac{1}{279936} \cdot 0.1648 \]
Шаг 5: Расчет вероятности
Вычислим:
\[ P(X = 7) \approx 77520 \cdot \frac{0.1648}{279936} \approx 77520 \cdot 0.000589 \]
\[ P(X = 7) \approx 45.568 \]
Окончательный ответ
Теперь вычислим финальное значение для вероятности:
\[ P(X = 7) \approx 0.0456 \]
Ответ
Округляя до тысячных, мы получаем:
\[ P(X = 7) \approx 0.046 \]
Таким образом, вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз при 20 бросках игрального кубика, составляет примерно 0.046.
