Игральный кубик бросают 20 рез. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз. Ответ округлите до тысячных.

Для решения задачи о вероятности выпадения шестёрки при броске игрального кубика мы можем использовать формулу биномиального распределения. ### Шаг 1: Определение параметров задачи В данной задаче: - Количество бросков \( n = 20 \). - Успех — это выпадение шестёрки. Вероятность успеха \( p = \frac{1}{6} \) (одно шестое, так как на кубике 6 граней). - Неудача — это выпадение любой другой грани (1, 2, 3, 4, 5). Вероятность неудачи \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \). - Количество успехов, которые мы хотим получить, \( k = 7 \). ### Шаг 2: Формула биномиального распределения Вероятность того, что произойдут \( k \) успехов в \( n \) испытаниях, вычисляется по формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C(n, k) \) — число сочетаний из \( n \) элементов по \( k \): \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] ### Шаг 3: Расчет каждого элемента 1. **Вычислим число сочетаний \( C(20, 7) \)**: \[ C(20, 7) = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7! \cdot 13!} \] Вычисляя это: \[ C(20, 7) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 77520 \] 2. **Вычислим \( p^k \) и \( q^{n-k} \)**: \[ p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^7 = \frac{1}{279936} \] \[ q^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{20-7} = \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \] Теперь посчитаем \( \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \): \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \approx 0.1648 \] ### Шаг 4: Подстановка в формулу Теперь мы можем подставить все значения в формулу: \[ P(X = 7) = 77520 \cdot \frac{1}{279936} \cdot 0.1648 \] ### Шаг 5: Расчет вероятности Вычислим: \[ P(X = 7) \approx 77520 \cdot \frac{0.1648}{279936} \approx 77520 \cdot 0.000589 \] \[ P(X = 7) \approx 45.568 \] ### Окончательный ответ Теперь вычислим финальное значение для вероятности: \[ P(X = 7) \approx 0.0456 \] ### Ответ Округляя до тысячных, мы получаем: \[ P(X = 7) \approx 0.046 \] Таким образом, вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз при 20 бросках игрального кубика, составляет примерно 0.046.