DB = 10/3 см. 2. На ребре СС, прямоугольного параллелепипеда ABCDA, B,C, D, отметили точку М так, что СМ : С,М = = 1 : 2. Найдите угол между прямой АМ и плоскостью CDD,, если AD =…

Чтобы решить эту задачу, нам нужно наглядно представить прямоугольный параллелепипед ABCDA и разобрать все предложенные параметры. Давайте разберем шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание геометрии

У нас есть прямоугольный параллелепипед, с вершинами:

• A (0, 0, 0)
• B (10/3, 0, 0)
• C (10/3, 4, 0)
• D (0, 4, 0)
• A' (0, 0, 6)
• B' (10/3, 0, 6)
• C' (10/3, 4, 6)
• D' (0, 4, 6)

Данные:

• AD = 6 см (по оси Z)
• CD = 4 см (по оси Y)
• AB = 10/3 см (по оси X)

Шаг 2: Нахождение координат точки M

Точка M расположена на ребре CC'. Чтобы найти координаты точки M, мы воспользуемся соотношением СM : СМ = 1 : 2. Значит, CM будет составлять 2/3 от длины CC'.

Длина CC' = 6 см (так как это высота параллелепипеда).

Следовательно:

• CM = 2/3 * 6 = 4 см
• C'M = 6 - CM = 6 - 4 = 2 см

Теперь найдем координаты точки M:

• M = (10/3, 4, 4) (это 4 см над плоскостью, в которой расположены точки A, B, C и D).

Шаг 3: Нахождение вектора AM

Теперь, чтобы найти угол между прямой AM и плоскостью CDD', нам сначала нужно получить вектор AM. Координаты A у нас (0, 0, 0).

Вектор AM: \[ \vec{AM} = M - A = \left(\frac{10}{3} - 0, 4 - 0, 4 - 0\right) = \left(\frac{10}{3}, 4, 4\right) \]

Шаг 4: Нахождение нормали к плоскости CDD'

Для нахождения угла между вектором AM и плоскостью CDD', необходимо найти нормальный вектор к этой плоскости. Для этого можно взять два вектора, которые лежат в плоскости.

Ребра CD и DD' являются векторами плоскости CDD'. Найдем их:

1. Вектор CD: \[ \vec{CD} = D - C = (0, 4, 0) - \left(\frac{10}{3}, 4, 0\right) = \left(-\frac{10}{3}, 0, 0\right) \]
2. Вектор DD': \[ \vec{DD'} = D' - D = (0, 4, 6) - (0, 4, 0) = (0, 0, 6) \]

Теперь находим векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор плоскости: \[ \vec{N} = \vec{CD} \times \vec{DD'} \]

Используя определение векторного произведения: \[ \vec{N} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -\frac{10}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} = \left(0 \cdot 0 - 0 \cdot 6\right)\hat{i} - \left(-\frac{10}{3} \cdot 6 - 0 \cdot 0\right)\hat{j} + \left(-\frac{10}{3} \cdot 0 - 0 \cdot 0\right)\hat{k} = 0\hat{i} + 20\hat{j} + 0\hat{k} = (0, 20, 0) \]

Шаг 5: Нахождение угла между вектором AM и нормалью плоскости

Теперь можем найти угол θ между вектором AM и нормальным вектором N: \[ \cos(\theta) = \frac{\left|\vec{AM} \cdot \vec{N}\right|}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{N}|} \]

1. Сначала находим длину вектора AM: \[ |\vec{AM}| = \sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{\frac{100}{9} + 16 + 16} = \sqrt{\frac{100}{9} + \frac{288}{9}} = \sqrt{\frac{388}{9}} = \frac{\sqrt{388}}{3} \]

2. Нормальный вектор N имеет длину: \[ |\vec{N}| = \sqrt{0^2 + 20^2 + 0^2} = 20 \]

3. Теперь найдем скалярное произведение: \[ \vec{AM} \cdot \vec{N} = \left(\frac{10}{3}, 4, 4\right) \cdot (0, 20, 0) = 0 + 80 + 0 = 80 \]

Теперь подставим все в формулу косинуса угла: \[ \cos(\theta) = \frac{80}{\frac{\sqrt{388}}{3} \cdot 20} = \frac{80 \cdot 3}{20 \cdot \sqrt{388}} = \frac{12}{\sqrt{388}} = \frac{12}{2\sqrt{97}} = \frac{6}{\sqrt{97}} \]

Шаг 6: Нахождение угла θ

Используя арккосинус: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{6}{\sqrt{97}}\right) \]

Это значение θ дает угол между прямой AM и плоскостью CDD'.

Ответ

Итак, угол между прямой AM и плоскостью CDD' равен: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{6}{\sqrt{97}}\right) \]

Если требуется численное значение, его можно получить с помощью калькулятора. Поэтому следуйте данному алгоритму, чтобы получить конкретное значение угла.