Давайте решим все задачи одну за другой, объясняя каждую из них подробно.
Задача 3
Условие: Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен 27 см. Найти высоту этого треугольника.
Решение:
- В правильном треугольнике радиус вписанной окружности ( r ) можно выразить через высоту ( h ) и сторону ( a ):
[
r = \frac{h}{3}
]
- Подставим значение радиуса:
[
27 = \frac{h}{3}
]
- Умножим обе стороны уравнения на 3:
[
h = 27 \cdot 3 = 81 \text{ см}
]
Ответ: Высота треугольника равна 81 см.
Задача 4
Условие: Высота правильного треугольника 81 см. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение:
- В правильном треугольнике радиус описанной окружности ( R ) связан с высотой ( h ) следующим образом:
[
R = \frac{h}{\sqrt{3}}
]
- Подставляем ( h ):
[
R = \frac{81}{\sqrt{3}} = 27\sqrt{3} \text{ см}
]
Ответ: Радиус окружности, описанной около треугольника, равен ( 27\sqrt{3} ) см.
Задача 5
Условие: Периметр правильного треугольника равен 33 см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение:
- Для правильного треугольника периметр ( P ) равен ( 3a ), где ( a ) — длина стороны.
[
3a = 33 \implies a = 11 \text{ см}
]
- Радиус вписанной окружности ( r ) для правильного треугольника будет:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
- Подставим значение ( a ):
[
r = \frac{11\sqrt{3}}{6} \text{ см}
]
Ответ: Радиус вписанной окружности равен ( \frac{11\sqrt{3}}{6} ) см.
Задача 6
Условие: Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен ( 9\sqrt{3} ) см. Найти периметр и площадь треугольника.
Решение:
- Радиус описанной окружности ( R ) связан с длиной стороны ( a ) следующим образом:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = R \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 27 \text{ см}
]
- Периметр ( P ):
[
P = 3a = 3 \cdot 27 = 81 \text{ см}
]
- Площадь ( S ) правильного треугольника:
[
S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{27^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{729\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2
]
Ответ: Периметр равен 81 см, площадь равна ( \frac{729\sqrt{3}}{4} ) см².
Задача 7
Условие: Площадь кругового сектора 12π см², а длина его дуги 4π см. Найти радиус круга и градусную меру дуги сектора.
Решение:
- Площадь круга ( S ) и длина дуги ( L ) могут быть связаны формулами:
[
S = \frac{1}{2} r^2 \theta \quad \text{и} \quad L = r\theta
]
где ( \theta ) — угол в радианах.
- Подставим известные значения:
[
12\pi = \frac{1}{2} r^2 \theta \quad \text{и} \quad 4\pi = r\theta
]
- Выразим ( \theta ) из второй формулы:
[
\theta = \frac{4\pi}{r}
]
- Подставим ( \theta ) в первую формулу:
[
12\pi = \frac{1}{2} r^2 \cdot \frac{4\pi}{r}
]
Упрощаем:
[
12\pi = 2r\pi
]
Отсюда:
[
r = 6 \text{ см}
]
- Найдем угол ( \theta ):
[
\theta = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \text{ радиан} \approx 120°.
]
Ответ: Радиус круга равен 6 см, угол сектора равен 120°.
Задача 8
Условие: Найти радиус окружности, описанной около квадрата со стороной ( 23\sqrt{2} ) см. Найти периметр и площадь квадрата.
Решение:
- Радиус описанной окружности ( R ) для квадрата со стороной ( a ):
[
R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{23\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{46}{2} = 23 \text{ см}
]
- Периметр квадрата:
[
P = 4a = 4 \cdot 23\sqrt{2} = 92\sqrt{2} \text{ см}
]
- Площадь квадрата:
[
S = a^2 = (23\sqrt{2})^2 = 529 \cdot 2 = 1058 \text{ см}^2
]
Ответ: Радиус равен 23 см, периметр равен ( 92\sqrt{2} ) см, площадь равна 1058 см².
Задача 9
Условие: Площадь квадрата, вписанного в окружность, равна 48 см². Найти периметр правильного треугольника, описанного около данной окружности.
Решение:
- Площадь квадрата ( S = a^2 = 48 \implies a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} ).
- Радиус окружности ( R ), описанной вокруг квадрата:
[
R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6} \text{ см}
]
- Теперь найдем сторону правильного треугольника ( a ), вписанного в эту окружность:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = R\sqrt{3} = 2\sqrt{6}\sqrt{3} = 6\sqrt{2} \text{ см}
]
- Периметр правильного треугольника:
[
P = 3a = 3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \text{ см}
]
Ответ: Периметр правильного треугольника равен ( 18\sqrt{2} ) см.
Надеюсь, эти подробные решения помогут вам лучше понять материал! Если есть еще вопросы, задавайте.
