Контрольная работа по теме "правильные многоугольники" длина окружности и площадь круга Задача 3. радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен 27 см найти высоту…

Давайте решим все задачи одну за другой, объясняя каждую из них подробно.

Задача 3

Условие: Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен 27 см. Найти высоту этого треугольника.

Решение:

1. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности \( r \) можно выразить через высоту \( h \) и сторону \( a \): \[ r = \frac{h}{3} \]
2. Подставим значение радиуса: \[ 27 = \frac{h}{3} \]
3. Умножим обе стороны уравнения на 3: \[ h = 27 \cdot 3 = 81 \text{ см} \]

Ответ: Высота треугольника равна 81 см.

---

Задача 4

Условие: Высота правильного треугольника 81 см. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

1. В правильном треугольнике радиус описанной окружности \( R \) связан с высотой \( h \) следующим образом: \[ R = \frac{h}{\sqrt{3}} \]
2. Подставляем \( h \): \[ R = \frac{81}{\sqrt{3}} = 27\sqrt{3} \text{ см} \]

Ответ: Радиус окружности, описанной около треугольника, равен \( 27\sqrt{3} \) см.

---

Задача 5

Условие: Периметр правильного треугольника равен 33 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение:

1. Для правильного треугольника периметр \( P \) равен \( 3a \), где \( a \) — длина стороны. \[ 3a = 33 \implies a = 11 \text{ см} \]
2. Радиус вписанной окружности \( r \) для правильного треугольника будет: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]
3. Подставим значение \( a \): \[ r = \frac{11\sqrt{3}}{6} \text{ см} \]

Ответ: Радиус вписанной окружности равен \( \frac{11\sqrt{3}}{6} \) см.

---

Задача 6

Условие: Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен \( 9\sqrt{3} \) см. Найти периметр и площадь треугольника.

Решение:

1. Радиус описанной окружности \( R \) связан с длиной стороны \( a \) следующим образом: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = R \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 27 \text{ см} \]
2. Периметр \( P \): \[ P = 3a = 3 \cdot 27 = 81 \text{ см} \]
3. Площадь \( S \) правильного треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{27^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{729\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]

Ответ: Периметр равен 81 см, площадь равна \( \frac{729\sqrt{3}}{4} \) см².

---

Задача 7

Условие: Площадь кругового сектора 12π см², а длина его дуги 4π см. Найти радиус круга и градусную меру дуги сектора.

Решение:

1. Площадь круга \( S \) и длина дуги \( L \) могут быть связаны формулами: \[ S = \frac{1}{2} r^2 \theta \quad \text{и} \quad L = r\theta \] где \( \theta \) — угол в радианах.
2. Подставим известные значения: \[ 12\pi = \frac{1}{2} r^2 \theta \quad \text{и} \quad 4\pi = r\theta \]
3. Выразим \( \theta \) из второй формулы: \[ \theta = \frac{4\pi}{r} \]
4. Подставим \( \theta \) в первую формулу: \[ 12\pi = \frac{1}{2} r^2 \cdot \frac{4\pi}{r} \] Упрощаем: \[ 12\pi = 2r\pi \] Отсюда: \[ r = 6 \text{ см} \]
5. Найдем угол \( \theta \): \[ \theta = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \text{ радиан} \approx 120°. \]

Ответ: Радиус круга равен 6 см, угол сектора равен 120°.

---

Задача 8

Условие: Найти радиус окружности, описанной около квадрата со стороной \( 23\sqrt{2} \) см. Найти периметр и площадь квадрата.

Решение:

1. Радиус описанной окружности \( R \) для квадрата со стороной \( a \): \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{23\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{46}{2} = 23 \text{ см} \]
2. Периметр квадрата: \[ P = 4a = 4 \cdot 23\sqrt{2} = 92\sqrt{2} \text{ см} \]
3. Площадь квадрата: \[ S = a^2 = (23\sqrt{2})^2 = 529 \cdot 2 = 1058 \text{ см}^2 \]

Ответ: Радиус равен 23 см, периметр равен \( 92\sqrt{2} \) см, площадь равна 1058 см².

---

Задача 9

Условие: Площадь квадрата, вписанного в окружность, равна 48 см². Найти периметр правильного треугольника, описанного около данной окружности.

Решение:

1. Площадь квадрата \( S = a^2 = 48 \implies a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \).
2. Радиус окружности \( R \), описанной вокруг квадрата: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6} \text{ см} \]
3. Теперь найдем сторону правильного треугольника \( a \), вписанного в эту окружность: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = R\sqrt{3} = 2\sqrt{6}\sqrt{3} = 6\sqrt{2} \text{ см} \]
4. Периметр правильного треугольника: \[ P = 3a = 3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \text{ см} \]

Ответ: Периметр правильного треугольника равен \( 18\sqrt{2} \) см.

---

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам лучше понять материал! Если есть еще вопросы, задавайте.