магазине на прилавке лежат 11 упаковок с фундуком и 7 упаковок с грецкими орехами. Сколькими способами можно выбрать 4 упаковки с фундуком и 4 упаковки с грецкими орехами?

Для решения задачи используем комбинации, так как нам нужно выбрать определённое количество упаковок из общего числа упаковок для каждого вида орехов.

Шаг 1: Определяем количество способов выбрать упаковки с фундуком

У нас есть 11 упаковок с фундуком, и нам нужно выбрать 4 из них. Количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\) можно вычислить по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \(n!\) (факториал \(n\)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

В нашем случае:

• \(n = 11\) (упаковки с фундуком)
• \(k = 4\) (упаковки, которые мы хотим выбрать)

Таким образом, количество способов выбрать 4 упаковки с фундуком будет:

\[ C(11, 4) = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!} \]

Теперь вычислим это:

1. Вычисляем \(11!\), но нам нужно только часть для расчёта (до 11).
2. \(4! = 24\)
3. \(7! = 5040\) (можно не вычислять полностью, если сразу использовать \(7 \times 6 \times 5\))

Раскроем факториалы:

\[ C(11, 4) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7920}{24} = 330 \]

Шаг 2: Определяем количество способов выбрать упаковки с грецкими орехами

Аналогично, у нас есть 7 упаковок с грецкими орехами, и нам нужно выбрать 4 из них:

• \(n = 7\) (упаковки с грецкими орехами)
• \(k = 4\)

Вычисляем количество способов выбрать 4 упаковки с грецкими орехами:

\[ C(7, 4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} \]

Теперь снова раскроем:

\[ C(7, 4) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35 \]

Шаг 3: Находим общее количество способов

Теперь нужно умножить количество способов выбрать упаковки с фундуком на количество способов выбрать упаковки с грецкими орехами:

\[ Общее\ количество\ способов = C(11, 4) \times C(7, 4) = 330 \times 35 \]

Вычислим произведение:

\[ 330 \times 35 = 11550 \]

Ответ

Таким образом, количеством способов выбрать 4 упаковки с фундуком и 4 упаковки с грецкими орехами составляет 11550.