Вычисли площади закрашенного и незакрашенного сегментов, если радиус круга равен 8 дм и меньший центральный угол равен 90°.
Для решения задачи определим площади закрашенного и незакрашенного сегментов круга, зная радиус и центральный угол.
- Определим площадь сектора.
Площадь сектора (участка круга, ограниченного радиусами и дугой) можно вычислить по формуле:
\[ S_{\text{сектора}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \] где \( \alpha \) — центральный угол, \( r \) — радиус.
Для данной задачи:
- радиус \( r = 8 \, \text{дм} \)
- угол \( \alpha = 90^\circ \)
Подставляем значения в формулу: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (8)^2 \]
Вычислим площадь сектора: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 64 = 16\pi \, \text{дм}^2 \]
Определим площадь треугольника.
Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и дугой, можно вычислить по формуле: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \] где \( a \) и \( b \) — длины сторон (равные радиусам), а \( \alpha \) — угол между ними.
В нашем случае \( a = b = r = 8 \, \text{дм} \) и \( \alpha = 90^\circ \): \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot 1 = 32 \, \text{дм}^2 \]
Вычислим площадь закрашенного сегмента. Площадь закрашенного сегмента (разница между площадью сектора и площадью треугольника) будет равна: \[ S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}} = 16\pi - 32 \, \text{дм}^2 \]
Вычислим площадь незакрашенной части.
Площадь незакрашенной части в круге (это площадь треугольника) составляет: \[ S_{\text{незакрашенной}} = S_{\text{треугольника}} = 32 \, \text{дм}^2 \]
Таким образом:
- Площадь закрашенного сегмента: \( 16\pi - 32 \, \text{дм}^2 \)
- Площадь незакрашенной части: \( 32 \, \text{дм}^2 \)
Надеюсь, это объяснение было полезным для понимания. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
