Три заряда -2q, -q и +2q расположены в вершинах квадрата со стороной A (см. рисунок). Определите результирующую напряжённость в точке А
Чтобы найти результирующую электрическую напряжённость в точке, расположенной в вершине квадрата, давайте рассмотрим каждый из зарядов и как они влияют на напряженность в этой точке.
Дано:
- Заряды расположены в вершинах квадрата со стороной \( A \).
- Заряды: \( -2q \), \( -q \), \( +2q \).
Шаг 1: Определение напряженности от каждого заряда
Электрическая напряженность \( \vec{E} \) в точке от заряда определяется по формуле: \[ \vec{E} = k \frac{|q|}{r^2} \] где:
- \( k \) — электростатическая постоянная (примерно \( 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)),
- \( q \) — величина заряда,
- \( r \) — расстояние до точки, в которой определяется напряженность.
Так как точка А находится в одной из вершин квадрата, расстояния до каждого из зарядов будут определяться по их расположению.
Шаг 2: Расстояния
Для любого заряда, расположенного на квадрате:
- Расстояние до точки A (по диагонали квадрата) от противоположного заряда составит \( r = \sqrt{2} \cdot \frac{A}{2} = \frac{A \sqrt{2}}{2} \).
- Расстояние до первого соседнего заряда будет равно \( \frac{A}{2} \).
Шаг 3: Напряженность от каждого заряда
Заряд \( -2q \):
- Напряженность в точке A: \[ E_1 = k \frac{2q}{(\frac{A}{2})^2} = k \frac{2q}{\frac{A^2}{4}} = \frac{8kq}{A^2} \] Напряженность направлена к заряд, так как заряд отрицательный.
Заряд \( -q \):
- Напряженность в точке A: \[ E_2 = k \frac{q}{(\frac{A}{2})^2} = k \frac{q}{\frac{A^2}{4}} = \frac{4kq}{A^2} \] Напряженность также направлена к этому заряду.
Заряд \( +2q \):
- Напряженность в точке A: \[ E_3 = k \frac{2q}{(\frac{A \sqrt{2}}{2})^2} = k \frac{2q}{\frac{A^2}{2}} = \frac{4kq}{A^2} \] Напряженность направлена от этого заряда (положительный заряд).
Шаг 4: Векторная сумма напряженностей
Теперь давайте сложим все напряженности, учитывая их направления:
- Знак напряженности от зарядов \( -2q \) и \( -q \) будет направлен внутрь, в сторону точки, в то время как напряженность от \( +2q \) будет направлена от заряда.
Направления:
- Напряженности \( E_1 \) и \( E_2 \) (от \( -2q \) и \( -q \)) направлены к ним.
- Напряженность \( E_3 \) (от \( +2q \)) направлена от него.
Итак: \[ E_{\text{рез}} = E_1 + E_2 - E_3 \] Подставляем значения: \[ E_{\text{рез}} = \left( \frac{8kq}{A^2} + \frac{4kq}{A^2} - \frac{4kq}{A^2} \right) = \frac{8kq}{A^2} \]
Ответ:
Таким образом, результирующая напряженность в точке A равна \( \frac{8kq}{A^2} \) и направлена к зарядам \( -2q \) и \( -q \).
