Луч света падает под углом а = 45° из воздуха в вершину К стеклянного куба с ребром 400 миллиметров. Найдите расстояние DC, на которое сместится преломленный луч от левой грани…

Чтобы решить данную задачу, нужно использовать закон преломления света — закон Снелла.

Шаг 1: Понимание геометрии задачи

1. Определим, как свет попадает в стеклянный куб.
2. Луч падает из воздуха (показатель преломления \( n_1 = 1.0 \)) под углом \( \alpha = 45^\circ \) на вертикальную грань куба.
3. Показатель преломления стекла (\( n_2 \)) равен 1.5.

Шаг 2: Применение закона Снелла

Закон Снелла описывается формулой: \[ n_1 \cdot \sin(\alpha) = n_2 \cdot \sin(\beta) \] где:

• \( n_1 \) — показатель преломления первого媒орта (воздуха),
• \( n_2 \) — показатель преломления второго媒орта (стекла),
• \( \alpha \) — угол падения,
• \( \beta \) — угол преломления.

Шаг 3: Подсчет угла преломления

1. Подставим известные значения в уравнение: \[ 1.0 \cdot \sin(45^\circ) = 1.5 \cdot \sin(\beta) \]
2. Значение \( \sin(45^\circ) \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставим это в уравнение: \[ 1.0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1.5 \cdot \sin(\beta) \]
3. Упростим уравнение: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = 1.5 \cdot \sin(\beta) \]
4. Найдем \( \sin(\beta) \): \[ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 1.5} = \frac{\sqrt{2}}{3} \]

Шаг 4: Определение угла \( \beta \)

Теперь мы можем использовать арксинус, чтобы найти угол \( \beta \): \[ \beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \]

Шаг 5: Находим расстояние DC

Теперь найдем смещение луча от левой грани куба. Для этого используем геометрию. Зная, что диагональ грани куба не изменяется, можем найти расстояние между лучом и левой гранью куба.

1. Рассмотрим треугольник, образованный преломленным лучом внутри куба.
2. Высота этого треугольника будет равна длине ребра куба 400 мм.
3. Рассчитаем, на какое расстояние DC сместится преломленный луч, используя тангенс угла \( \beta \): \[ DC = AB \cdot \tan(\beta) \] где \( AB = 400 \) мм (длина ребра куба).

Шаг 6: Целочисленный ответ

1. Найдем \( \tan(\beta) \) через \( \sin(\beta) \) и \( \cos(\beta) \): \[ \cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3} \] Так что, \[ \tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{2}{7}} \]

2. Теперь подставим это значение в уравнение для \( DC \): \[ DC = 400 \cdot \sqrt{\frac{2}{7}} \approx 400 \cdot 0.5345 \approx 213.8 \]

Окончательный ответ

Округляем до целого числа: \[ DC \approx 214 \text{ мм} \]

Таким образом, расстояние \( DC \), на которое сместится преломленный луч от левой грани куба, составляет 214 миллиметров.