Чтобы найти количество теплоты, выделившееся на активном сопротивлении, давайте воспользуемся законом Джоуля-Ленца, который описывает выделение тепла при протекании тока через сопротивление.
Шаг 1: Определим параметры задачи
- Сопротивление ( R = 10 , \Omega ).
- Мгновенное значение напряжения описывается формулой:
[
u(t) = 141 \cos(100 \pi t)
]
Шаг 2: Найдем среднюю мощность
Сначала нам нужно вычислить среднюю мощность ( P ), выделяемую на сопротивлении. Средняя мощность для переменного тока равна:
[
P_{\text{сред}} = \frac{U_{\text{eff}}^2}{R}
]
где ( U_{\text{eff}} ) — эффективное значение напряжения.
Для синусоидального напряжения эффективное значение можно найти так:
[
U_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}}
]
где ( U_{\text{max}} = 141 , \text{В} ) — максимальное (амплитудное) значение напряжения.
Подставим значения:
[
U_{\text{eff}} = \frac{141}{\sqrt{2}} \approx 99.3 , \text{В}
]
Теперь рассчитываем среднюю мощность:
[
P_{\text{сред}} = \frac{(99.3)^2}{10} \approx \frac{9861.69}{10} \approx 986.17 , \text{Вт}
]
Шаг 3: Найдем количество теплоты за один период
Количество теплоты ( Q ), выделившееся за один период ( T ), можно найти по формуле:
[
Q = P_{\text{сред}} \times T
]
Период ( T ) для данного уравнения можно найти из угловой частоты ( \omega ):
[
\omega = 100 \pi , \text{рад/с}
]
Период ( T ) определяется как:
[
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{100} , \text{с} = 0.01 , \text{с}
]
Теперь мы можем найти ( Q ):
[
Q = 986.17 , \text{Вт} \times 0.01 , \text{с} \approx 9.86 , \text{Дж}
]
Ответ
Количество теплоты, выделившееся на активном сопротивлении 10 Ом за один период колебаний, составляет примерно ( 9.86 , \text{Дж} ).
