Упростить выражение: 1)cos^42x-sin^42x; 2)cos2z/cosz-sin2z/sinz; 3)1+cos2x+2sin^2x; 4)2sin ^2z-1; 5)sin^2x+cos^4x-0,75; 6)2cos^2x-1.

Давайте последовательно упростим каждое из выражений. ### 1) \( \cos^4(2x) - \sin^4(2x) \) Это выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \). Здесь \( a = \cos^2(2x) \) и \( b = \sin^2(2x) \). \[ \cos^4(2x) - \sin^4(2x) = (\cos^2(2x) - \sin^2(2x))(\cos^2(2x) + \sin^2(2x)) \] Поскольку \( \cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 \): \[ \cos^4(2x) - \sin^4(2x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x) \] Таким образом, ответ: \[ \cos^2(2x) - \sin^2(2x) \] ### 2) \( \frac{\cos(2z)}{\cos(z)} - \frac{\sin(2z)}{\sin(z)} \) Здесь мы можем использовать известные тригонометрические тождества: \( \cos(2z) = \cos^2(z) - \sin^2(z) \) и \( \sin(2z) = 2\sin(z)\cos(z) \). Преобразуем оба деления: \[ \frac{\cos(2z)}{\cos(z)} - \frac{\sin(2z)}{\sin(z)} = \frac{\cos^2(z) - \sin^2(z)}{\cos(z)} - \frac{2\sin(z)\cos(z)}{\sin(z)} \] \[ = \frac{\cos^2(z) - \sin^2(z)}{\cos(z)} - 2\cos(z) \] Приведем к общему знаменателю: \[ = \frac{\cos^2(z) - \sin^2(z) - 2\cos^2(z)}{\cos(z)} = \frac{-\sin^2(z) - \cos^2(z)}{\cos(z)} \] Используем тождество \( \sin^2(z) + \cos^2(z) = 1 \): \[ = \frac{-1}{\cos(z)} = -\sec(z) \] Ответ: \[ -\sec(z) \] ### 3) \( 1 + \cos(2x) + 2\sin^2(x) \) Используя тождество \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \): \[ 1 + \cos(2x) + 2\sin^2(x) = 1 + (1 - 2\sin^2(x)) + 2\sin^2(x) \] \[ = 1 + 1 = 2 \] Ответ: \[ 2 \] ### 4) \( 2\sin^2(z) - 1 \) Использует тождество \( \cos(2z) \): \[ 2\sin^2(z) - 1 = -\cos(2z) \] Ответ: \[ -\cos(2z) \] ### 5) \( \sin^2(x) + \cos^4(x) - 0.75 \) Сначала выразим \( \cos^4(x) \) через \( \sin^2(x) \): \[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \quad \Rightarrow \quad \cos^4(x) = (1 - \sin^2(x))^2 \] Поэтому: \[ \sin^2(x) + \cos^4(x) - 0.75 = \sin^2(x) + (1 - 2\sin^2(x) + \sin^4(x)) - 0.75 \] \[ = \sin^4(x) - \sin^2(x) + 0.25 \] Это сложное выражение, и его решение не требует значительного упрощения. Ответ остается в таком виде: \[ \sin^4(x) - \sin^2(x) + 0.25 \] ### 6) \( 2\cos^2(x) - 1 \) Опять же, это тождество: \[ 2\cos^2(x) - 1 = \cos(2x) \] Ответ: \[ \cos(2x) \] Таким образом, мы упростили все выражения и получили конечные ответы для каждой из задач.