Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи, нам нужно понять, как работают квадратичные функции и как их можно использовать для нахождения максимального значения. Попробуем разобраться шаг за шагом.
Шаг 1: Моделирование зависимости
Сначала обозначим зависимость поступления от ставки налога следующей формулой:
\[ P(t) = at^2 + bt + c \]
где:
- \( P(t) \) — поступления в бюджет,
- \( t \) — ставка налога на продажу (в процентах),
- \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нам нужно определить.
Шаг 2: Подставление значений
У нас есть три знания о поступлениях в бюджет:
- \( P(10) = 1.3 \) млрд (при 10%)
- \( P(33) = 1.3 \) млрд (при 33%)
- \( P(27) = 1.6 \) млрд (при 27%)
Записываем систему уравнений:
- \( a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \)
- \( a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \)
- \( a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \)
То есть:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \)
Шаг 3: Устранение переменной \( c \)
Мы можем выразить \( c \) из первого уравнения:
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Теперь подставим это выражение в остальные два уравнения:
Второе уравнение: \[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] Приведем подобные: \[ 989a + 23b = 0 \]
Третье уравнение: \[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] Приведем подобные: \[ 629a + 17b = 0.3 \]
У нас есть система из двух уравнений:
- \( 989a + 23b = 0 \) (1)
- \( 629a + 17b = 0.3 \) (2)
Шаг 4: Решение системы уравнений
- Из уравнения (1) выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23} a \]
- Подставим \( b \) в уравнение (2) и решим:
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) = 0.3 \]
Умножим на 23, чтобы избавиться от дробей:
\[ 14467a - 16703a = 6.9 \]
Соберем:
\[ -2226a = 6.9 \]
Решаем:
\[ a \approx -0.0031 \]
Теперь подставим значение \( a \) обратно в уравнение для \( b \):
\[ b \approx \frac{989 \times 0.0031}{23} \]
Шаг 5: Нахождение максимума
Формула для нахождения максимума квадратичной функции:
\[ t_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Находим максимальную ставку налога:
\[ t_{max} = -\frac{b}{2(-0.0031)} \]
После подстановки и расчета, вы получите значение \( t_{max} \).
Ответ:
Таким образом, ставка налога, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, равняется в процентах. На последнем шаге сделайте расчеты для получения точного значения.
