Зная, что cos α = 4√5/9 и α расположен в IV четверти, найди sin α
Для решения задачи нужно воспользоваться тригонометрическими свойствами. Мы знаем, что:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Где \(\sin \alpha\) — синус угла \(\alpha\), а \(\cos \alpha\) — косинус угла \(\alpha\).
Из условия задачи дано:
\[ \cos \alpha = \frac{4\sqrt{5}}{9} \]
Находим \(\cos^2 \alpha\): \[ \cos^2 \alpha = \left( \frac{4\sqrt{5}}{9} \right)^2 = \frac{16 \cdot 5}{81} = \frac{80}{81} \]
Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \] Подставляем найденное значение: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{80}{81} = \frac{81}{81} - \frac{80}{81} = \frac{1}{81} \]
Находим \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \sqrt{\sin^2 \alpha} = \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{1}{9} \] Однако, поскольку угол \(\alpha\) расположен в IV четверти, значение \(\sin \alpha\) будет отрицательным (в IV четверти синус отрицателен): \[ \sin \alpha = -\frac{1}{9} \]
Таким образом, окончательный ответ:
\[ \sin \alpha = -\frac{1}{9} \]
