Найдите центральный угол AOB, если он на 67° больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Точка O- центр окружности. Ответ дайте в градусах
Чтобы решить задачу, давайте начнем с разбора понятий, которые содержатся в ней.
Определим, что такое вписанный угол.
Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны угла пересекают окружность.Центральный угол.
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны проходят через точки на окружности.Связь между вписанным углом и центральным углом.
Существует важное свойство: центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше вписанного угла. То есть, если угол AOB (центральный) и угол ACB (вписанный), то можно записать: \[ \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \]Условия задачи.
По условию, угол AOB больше угла ACB на 67°: \[ \angle AOB = \angle ACB + 67^\circ \]
Теперь у нас есть две формулы для углов AOB и ACB. Подставим вторую формулу в первую:
\[ \angle ACB + 67^\circ = 2 \cdot \angle ACB \]
Теперь решим это уравнение:
Переносим \(\angle ACB\) в правую часть: \[ 67^\circ = 2 \cdot \angle ACB - \angle ACB \] Это упрощается до: \[ 67^\circ = \angle ACB \]
Теперь мы знаем значение угла ACB. Подставив его обратно в выражение для угла AOB, получим: \[ \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 67^\circ = 134^\circ \]
Таким образом, центральный угол AOB равен 134°.
Итак, финальный ответ: \[ \angle AOB = 134^\circ \]
