Последовательность (а) задана формулой n-го члена: an=-2n+2 Найдите сумму первых двадцати одного её члена

Чтобы найти сумму первых двадцати одного члена последовательности, заданной формулой \( a_n = -2n + 2 \), давайте сначала разберемся с формулой и найдем значения для первых 21 членов.

Шаг 1: Нахождение первых 21 членов последовательности

Мы подставим значения \( n \) от 1 до 21 в формулу:

1. Для \( n = 1: a_1 = -2(1) + 2 = 0 \)
2. Для \( n = 2: a_2 = -2(2) + 2 = -2 \)
3. Для \( n = 3: a_3 = -2(3) + 2 = -4 \)
4. Для \( n = 4: a_4 = -2(4) + 2 = -6 \)
5. Для \( n = 5: a_5 = -2(5) + 2 = -8 \)
6. Для \( n = 6: a_6 = -2(6) + 2 = -10 \)
7. Для \( n = 7: a_7 = -2(7) + 2 = -12 \)
8. Для \( n = 8: a_8 = -2(8) + 2 = -14 \)
9. Для \( n = 9: a_9 = -2(9) + 2 = -16 \)
10. Для \( n = 10: a_{10} = -2(10) + 2 = -18 \)
11. Для \( n = 11: a_{11} = -2(11) + 2 = -20 \)
12. Для \( n = 12: a_{12} = -2(12) + 2 = -22 \)
13. Для \( n = 13: a_{13} = -2(13) + 2 = -24 \)
14. Для \( n = 14: a_{14} = -2(14) + 2 = -26 \)
15. Для \( n = 15: a_{15} = -2(15) + 2 = -28 \)
16. Для \( n = 16: a_{16} = -2(16) + 2 = -30 \)
17. Для \( n = 17: a_{17} = -2(17) + 2 = -32 \)
18. Для \( n = 18: a_{18} = -2(18) + 2 = -34 \)
19. Для \( n = 19: a_{19} = -2(19) + 2 = -36 \)
20. Для \( n = 20: a_{20} = -2(20) + 2 = -38 \)
21. Для \( n = 21: a_{21} = -2(21) + 2 = -40 \)

Теперь наши члены последовательности:

• \( a_1 = 0 \)
• \( a_2 = -2 \)
• \( a_3 = -4 \)
• \( a_4 = -6 \)
• \( a_5 = -8 \)
• \( a_6 = -10 \)
• \( a_7 = -12 \)
• \( a_8 = -14 \)
• \( a_9 = -16 \)
• \( a_{10} = -18 \)
• \( a_{11} = -20 \)
• \( a_{12} = -22 \)
• \( a_{13} = -24 \)
• \( a_{14} = -26 \)
• \( a_{15} = -28 \)
• \( a_{16} = -30 \)
• \( a_{17} = -32 \)
• \( a_{18} = -34 \)
• \( a_{19} = -36 \)
• \( a_{20} = -38 \)
• \( a_{21} = -40 \)

Шаг 2: Сумма первых 21 членов

Теперь мы можем найти сумму этих членов:

\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{21} \]

Подставляем значения:

\[ S = 0 + (-2) + (-4) + (-6) + (-8) + (-10) + (-12) + (-14) + (-16) + (-18) + (-20) + (-22) + (-24) + (-26) + (-28) + (-30) + (-32) + (-34) + (-36) + (-38) + (-40) \]

Шаг 3: Упрощение и расчет суммы

Сложим все отрицательные значения. Мы можем сгруппировать сумму по парам, чтобы было удобнее считать:

\[ S = 0 + [(-2) + (-40)] + [(-4) + (-38)] + [(-6) + (-36)] + [(-8) + (-34)] + [(-10) + (-32)] + [(-12) + (-30)] + [(-14) + (-28)] + [(-16) + (-26)] + [(-18) + (-24)] + (-20) \]

Каждая пара дает:

• \( (-2) + (-40) = -42 \)
• \( (-4) + (-38) = -42 \)
• \( (-6) + (-36) = -42 \)
• \( (-8) + (-34) = -42 \)
• \( (-10) + (-32) = -42 \)
• \( (-12) + (-30) = -42 \)
• \( (-14) + (-28) = -42 \)
• \( (-16) + (-26) = -42 \)
• \( (-18) + (-24) = -42 \)

У нас 10 таких пар и один лишний \( (-20) \):

\[ S = 10 \cdot (-42) + (-20) = -420 - 20 = -440 \]

Ответ

Сумма первых двадцати одного члена последовательности составляет \( S = -440 \).