Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришёл к…

Для решения задачи, давайте обозначим скорость первого автомобиля как \( v \) (км/ч), тогда скорость второго автомобиля будет равна \( v + 20 \) (км/ч), поскольку она на 20 км/ч больше.

Пусть время в пути для первого автомобиля, который движется быстрее, составляет \( t \) часов. Тогда время в пути для второго автомобиля, который движется медленнее, будет \( t + 1 \) час, так как он приходит на 1 час позже.

Мы знаем, что расстояние до села составляет 120 км, и можем использовать формулу: \[ \text{Скорость} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Время}} \]

Для первого автомобиля: \[ v = \frac{120}{t} \]

Для второго автомобиля: \[ v + 20 = \frac{120}{t + 1} \]

Теперь у нас есть система уравнений. Мы можем выразить \( v \) из первого уравнения и подставить во второе. Из первого уравнения: \[ v = \frac{120}{t} \]

Подставим это \( v \) во второе уравнение: \[ \frac{120}{t} + 20 = \frac{120}{t + 1} \]

Умножим всё уравнение на \( t(t + 1) \) (чтобы избавиться от дробей): \[ 120(t + 1) + 20t(t + 1) = 120t \]

Раскроем скобки: \[ 120t + 120 + 20t^2 + 20t = 120t \]

Сократим \( 120t \) с обеих сторон: \[ 120 + 20t^2 + 20t = 0 \]

Теперь можно упростить уравнение, сократив всё на 20: \[ t^2 + t + 6 = 0 \]

Можно найти корни этого квадратного уравнения, используя дискриминант. Для уравнения \( at^2 + bt + c = 0 \) дискриминант определяется как: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 6 \): \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 \]

Дискриминант отрицательный, это означает, что у этого уравнения нет действительных корней, и, следовательно, есть ошибка в расчетах.

Вернемся к исходным уравнениям и проверим:

Из уравнения: \[ \frac{120}{t} + 20 = \frac{120}{t + 1} \]

Умножим на \( t(t + 1) \): \[ 120(t + 1) + 20t(t + 1) = 120t \]

Соберем всё в одну сторону: \[ 20t^2 + 20t - 120 = 0 \] Сократим на 20: \[ t^2 + t - 6 = 0 \]

Теперь решаем это уравнение: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Корни уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Решения:

1. \( t = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( t = \frac{-6}{2} = -3 \) (отрицательное время отвергаем)

Таким образом, \( t = 2 \) часа.

Теперь подставим это значение для нахождения скорости: Скорость первого автомобиля: \[ v = \frac{120}{2} = 60 \text{ км/ч} \]

Скорость второго автомобиля: \[ v + 20 = 60 + 20 = 80 \text{ км/ч} \]

Таким образом, скорости автомобилей:

• Скорость первого автомобиля — 60 км/ч
• Скорость второго автомобиля — 80 км/ч