Для решения задачи, давайте обозначим скорость первого автомобиля как ( v ) (км/ч), тогда скорость второго автомобиля будет равна ( v + 20 ) (км/ч), поскольку она на 20 км/ч больше.
Пусть время в пути для первого автомобиля, который движется быстрее, составляет ( t ) часов. Тогда время в пути для второго автомобиля, который движется медленнее, будет ( t + 1 ) час, так как он приходит на 1 час позже.
Мы знаем, что расстояние до села составляет 120 км, и можем использовать формулу:
[ \text{Скорость} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Время}} ]
Для первого автомобиля:
[
v = \frac{120}{t}
]
Для второго автомобиля:
[
v + 20 = \frac{120}{t + 1}
]
Теперь у нас есть система уравнений. Мы можем выразить ( v ) из первого уравнения и подставить во второе. Из первого уравнения:
[
v = \frac{120}{t}
]
Подставим это ( v ) во второе уравнение:
[
\frac{120}{t} + 20 = \frac{120}{t + 1}
]
Умножим всё уравнение на ( t(t + 1) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
120(t + 1) + 20t(t + 1) = 120t
]
Раскроем скобки:
[
120t + 120 + 20t^2 + 20t = 120t
]
Сократим ( 120t ) с обеих сторон:
[
120 + 20t^2 + 20t = 0
]
Теперь можно упростить уравнение, сократив всё на 20:
[
t^2 + t + 6 = 0
]
Можно найти корни этого квадратного уравнения, используя дискриминант. Для уравнения ( at^2 + bt + c = 0 ) дискриминант определяется как:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = 6 ):
[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23
]
Дискриминант отрицательный, это означает, что у этого уравнения нет действительных корней, и, следовательно, есть ошибка в расчетах.
Вернемся к исходным уравнениям и проверим:
Из уравнения:
[
\frac{120}{t} + 20 = \frac{120}{t + 1}
]
Умножим на ( t(t + 1) ):
[
120(t + 1) + 20t(t + 1) = 120t
]
Соберем всё в одну сторону:
[
20t^2 + 20t - 120 = 0
]
Сократим на 20:
[
t^2 + t - 6 = 0
]
Теперь решаем это уравнение:
[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
]
Корни уравнения:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2}
]
Решения:
- ( t = \frac{4}{2} = 2 )
- ( t = \frac{-6}{2} = -3 ) (отрицательное время отвергаем)
Таким образом, ( t = 2 ) часа.
Теперь подставим это значение для нахождения скорости:
Скорость первого автомобиля:
[
v = \frac{120}{2} = 60 \text{ км/ч}
]
Скорость второго автомобиля:
[
v + 20 = 60 + 20 = 80 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорости автомобилей:
- Скорость первого автомобиля — 60 км/ч
- Скорость второго автомобиля — 80 км/ч
