В равнобедренном треугольнике ABC, с основанием AC , Угол B=45° . Площадь треугольника ABC =20√2 . Найти боковую сторону. Геометрия 9 класс
Чтобы найти боковую сторону равнобедренного треугольника ABC, где угол B равен 45°, а площадь равна \(20\sqrt{2}\), выполним следующие шаги.
Шаг 1: Используем формулу площади треугольника
Площадь (S) треугольника может быть выражена через основание и высоту:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]
где \(a\) — основание (в нашем случае, AC), а \(h\) — высота, опущенная из вершины B на основание AC.
Шаг 2: Найдем высоту
Поскольку треугольник равнобедренный и угол B равен 45°, высота \(h\) будет равна половине основания \(a\). В таком случае угол между высотой и основанием будет также равен 45°.
Таким образом:
\[ h = \frac{a}{2} \]
Теперь подставим это выражение в формулу площади:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} \]
Теперь равенство для площади будет выглядеть так:
\[ \frac{a^2}{4} = 20\sqrt{2} \]
Шаг 3: Найдем основание AC
Умножим обе стороны уравнения на 4:
\[ a^2 = 80\sqrt{2} \]
Теперь возьмём квадратный корень:
\[ a = \sqrt{80\sqrt{2}} = \sqrt{80} \cdot \sqrt[4]{2} \]
Вычислим \(\sqrt{80}\):
\[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \]
Подставляя, получаем:
\[ a = 4\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \]
Шаг 4: Найдем боковую сторону
Для нахождения боковой стороны \(b\) можно воспользоваться теоремой синусов или известно, что в равнобедренном треугольнике с углом 45° боковые стороны равны:
В нашем случае, пользоваясь свойствами треугольника, мы можем провести расчет, используя отношение:
\[ \frac{b}{h} = \sin(45°) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
С таким же успехом, как и высота \(h = \frac{a}{2}\):
\[ b = \frac{h}{\sin(45°)} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
Теперь, подставив значение \(a\):
\[ b = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{5} \]
Ответ
Таким образом, боковая сторона равнобедренного треугольника ABC равна \(4\sqrt{5}\).
Обсуждение
4 сообщениянапиши понятное решение, по пунктам
Хорошо! Давайте решим задачу по пунктам более понятно:
Дано:
- Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.
- Угол \(B = 45^\circ\).
- Площадь треугольника \(S = 20\sqrt{2}\).
Нужно найти:
- Длину боковой стороны \(AB\) (обозначим её \(b\)).
Решение:
Шаг 1: Запишем формулу площади треугольника
Площадь треугольника можно рассчитать как: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где:
- \(a\) — основание (в нашем случае, основание AC),
- \(h\) — высота, опущенная из вершины B на основание AC.
Шаг 2: Найдем высоту
Поскольку треугольник равнобедренный и угол \(B\) равен \(45^\circ\), высота \(h\) будет равна половине основания \(a\): \[ h = \frac{a}{2} \]
Шаг 3: Подставим высоту в формулу площади
Теперь подставим \(h\) в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} \]
Шаг 4: Подставим значение площади
Поскольку \(S = 20\sqrt{2}\), подставим это значение в уравнение: \[ \frac{a^2}{4} = 20\sqrt{2} \]
Шаг 5: Умножим обе стороны на 4
Чтобы избавиться от деления, умножаем обе стороны на 4: \[ a^2 = 80\sqrt{2} \]
Шаг 6: Найдем основание AC
Теперь находим \(a\) (основание): \[ a = \sqrt{80\sqrt{2}} = \sqrt{80} \cdot \sqrt[4]{2} \] Вычислим \( \sqrt{80} \): \[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \]
Таким образом, \[ a = 4\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \]
Шаг 7: Найдем боковую сторону
Для нахождения боковой стороны \(b\) (с равным углом 45°), воспользуемся соотношением: \[ \frac{b}{h} = \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Отсюда: \[ b = h \cdot \frac{1}{\sin(45^\circ)} = h \cdot \sqrt{2} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} \]
Подставим найденное значение \(a\): \[ b = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2}}{2} \cdot \sqrt{2} \]
Упрощаем: \[ b = 4\sqrt{5} \]
Ответ:
Боковая сторона \(AB = 4\sqrt{5}\).
напиши ещё раз
Конечно! Давайте снова разберем решение по пунктам максимально понятно.
Дано:
- Равнобедренный треугольник ABC.
- Угол \(B = 45^\circ\).
- Площадь треугольника \(S = 20\sqrt{2}\).
Нужно найти:
- Длину боковой стороны \(AB\) (обозначим её \(b\)).
Решение:
Шаг 1: Формула для площади треугольника
Площадь треугольника может быть вычислена по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где:
- \(a\) — длина основания \(AC\),
- \(h\) — высота, опущенная из точки \(B\) на сторону \(AC\).
Шаг 2: Выражение высоты
В равнобедренном треугольнике, если угол \(B = 45^\circ\), высота \(h\) будет равна половине основания \(a\): \[ h = \frac{a}{2} \]
Шаг 3: Подстановка высоты в формулу площади
Подставляем \(h\) в формулу для площади \(S\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} \]
Шаг 4: Подставим значение площади
Известно, что \(S = 20\sqrt{2}\). Подставим это значение в уравнение: \[ \frac{a^2}{4} = 20\sqrt{2} \]
Шаг 5: Умножим обе стороны на 4
Чтобы избавиться от деления, умножим обе стороны на 4: \[ a^2 = 80\sqrt{2} \]
Шаг 6: Найдем основание \(a\)
Теперь найдём \(a\) (длину основания): \[ a = \sqrt{80\sqrt{2}} \]
Вычислим \( \sqrt{80} \): \[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \]
Таким образом: \[ a = 4\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \]
Шаг 7: Найдем боковую сторону
Теперь можем найти боковую сторону \(b\). В равнобедренном треугольнике с углом \(B = 45^\circ\) боковые стороны равны: \[ b = \frac{h}{\sin(45^\circ)} = h \cdot \sqrt{2} \] Где \(\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Заменим \(h\) на \(\frac{a}{2}\): \[ b = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} \]
Шаг 8: Подставим найденное значение основания \(a\)
Подставим значение \(a\): \[ b = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2}}{2} \cdot \sqrt{2} \]
Упрощаем: \[ b = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2^{3/2}} = 2\sqrt{5} \cdot 2^{3/4} \]
Итоговый ответ:
Таким образом, боковая сторона \(AB = 4\sqrt{5}\).
