Реши

Давайте решим каждое неравенство и сопоставим с решениями.

A) \((x-1)(x-5) < 0\)

1. Найдем нули функции: \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \]

2. Разбиваем числовую прямую на промежутки: \((-\infty, 1)\), \( (1, 5) \), и \( (5, +\infty)\).

3. Определяем знаки произведения на каждом интервале:

   • Для \((-\infty, 1)\), выберем \(x = 0\): \((0-1)(0-5) = 5 > 0\)
   • Для \((1, 5)\), выберем \(x = 3\): \((3-1)(3-5) = -4 < 0\)
   • Для \((5, +\infty)\), выберем \(x = 6\): \((6-1)(6-5) = 5 > 0\)

4. Решение: \(1 < x < 5\). Это соответствует варианту 2.

Б) \((x+1)(x-5) < 0\)

1. Найдем нули функции: \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] \[ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \]

2. Промежутки: \((-\infty, -1)\), \((-1, 5)\), \((5, +\infty)\).

3. Определяем знаки:

   • Для \((-\infty, -1)\), выберем \(x = -2\): \((-2+1)(-2-5) = 7 > 0\)
   • Для \((-1, 5)\), выберем \(x = 0\): \((0+1)(0-5) = -5 < 0\)
   • Для \((5, +\infty)\), выберем \(x = 6\): \((6+1)(6-5) = 7 > 0\)

4. Решение: \(-1 < x < 5\). Это соответствует варианту 1.

В) \(\frac{x+1}{x-5} > 0\)

1. Найдем нули числителя и знаменателя: \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] \[ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \]

2. Промежутки: \((-\infty, -1)\), \((-1, 5)\), \((5, +\infty)\).

3. Определяем знаки:

   • Для \((-\infty, -1)\), выберем \(x = -2\): \(\frac{-2+1}{-2-5} = \frac{-1}{-7} > 0\)
   • Для \((-1, 5)\), выберем \(x = 0\): \(\frac{0+1}{0-5} = \frac{1}{-5} < 0\)
   • Для \((5, +\infty)\), выберем \(x = 6\): \(\frac{6+1}{6-5} = \frac{7}{1} > 0\)

4. Решение: \(x < -1\) или \(x > 5\). Это соответствует варианту 3.

Г) \(\frac{(x-5)^2}{x-1} > 0\)

1. Найдем нуль знаменателя: \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \]

2. \((x-5)^2 \geq 0\) всегда, но \(\frac{0}{0}\) не определена при \(x = 5\).

3. Промежутки: \((-\infty, 1)\), \((1, 5)\), \( (5, +\infty) \).

4. Определяем знаки:

   • Для \((-\infty, 1)\), \((x-5)^2\) положительно, знаменатель отрицательный.
   • Для \((1, 5)\), \((x-5)^2\) положительно, знаменатель положительный.
   • Для \((5, +\infty)\), \((x-5)^2\) положительно, знаменатель положительный.

5. Решение: \(x < 1\) или \(x > 1\). Это означает, что \(x \neq 1\). Это соответствует варианту 4.

Ответ:

• A — 2
• Б — 1
• В — 3
• Г — 4