Сколькими способами можно из 25 учащихся выбрать 5 для участия в школьном марафоне?

Чтобы решить задачу о количестве способов выбора 5 учащихся из 25, мы можем использовать понятие комбинаций. Комбинации используются, когда порядок выбора не важен. Обозначим количество учащихся за \( n \) (в данном случае \( n = 25 \)), а количество выбираемых учащихся за \( k \) (в данном случае \( k = 5 \)). Формула для вычисления количества комбинаций выглядит следующим образом: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] где \( n! \) (факториал \( n \)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \): \( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 \). Теперь подставим наши значения в формулу: 1. **Вычислим факториалы:** - \( 25! \) — это факториал числа 25, - \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \), - \( (25-5)! = 20! \). 2. **Запишем формулу для наших данных:** \[ C(25, 5) = \frac{25!}{5! \cdot 20!} \] 3. **Упростим выражение:** Мы можем записать \( 25! \) как \( 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20! \). Это позволит нам сократить \( 20! \): \[ C(25, 5) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20!}{5! \cdot 20!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{5!} \] 4. **Теперь подставим значение \( 5! \):** \[ C(25, 5) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{120} \] 5. **Выполним умножение в числителе:** - \( 25 \times 24 = 600 \) - \( 600 \times 23 = 13800 \) - \( 13800 \times 22 = 303600 \) - \( 303600 \times 21 = 6363600 \) Итак, числитель равен \( 6363600 \). 6. **Теперь выполним деление:** \[ C(25, 5) = \frac{6363600}{120} = 53030 \] Таким образом, количество способов, которыми можно выбрать 5 учащихся из 25, равно **53030**.