Сколькими способами можно из 25 учащихся выбрать 5 для участия в школьном марафоне?
Чтобы решить задачу о количестве способов выбора 5 учащихся из 25, мы можем использовать понятие комбинаций. Комбинации используются, когда порядок выбора не важен.
Обозначим количество учащихся за \( n \) (в данном случае \( n = 25 \)), а количество выбираемых учащихся за \( k \) (в данном случае \( k = 5 \)). Формула для вычисления количества комбинаций выглядит следующим образом:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
где \( n! \) (факториал \( n \)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \): \( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 \).
Теперь подставим наши значения в формулу:
Вычислим факториалы:
- \( 25! \) — это факториал числа 25,
- \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \),
- \( (25-5)! = 20! \).
Запишем формулу для наших данных: \[ C(25, 5) = \frac{25!}{5! \cdot 20!} \]
Упростим выражение: Мы можем записать \( 25! \) как \( 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20! \). Это позволит нам сократить \( 20! \): \[ C(25, 5) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20!}{5! \cdot 20!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{5!} \]
Теперь подставим значение \( 5! \): \[ C(25, 5) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{120} \]
Выполним умножение в числителе:
- \( 25 \times 24 = 600 \)
- \( 600 \times 23 = 13800 \)
- \( 13800 \times 22 = 303600 \)
- \( 303600 \times 21 = 6363600 \)
Итак, числитель равен \( 6363600 \).
Теперь выполним деление: \[ C(25, 5) = \frac{6363600}{120} = 53030 \]
Таким образом, количество способов, которыми можно выбрать 5 учащихся из 25, равно 53030.
