Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства квадратичной функции. Итак, давайте подробно разберем, что нам известно.

Шаг 1: Постановка задачи

Зависимость поступления налогов в бюджет от ставки налога на продажу сапогов представлена квадратичной функцией вида:

\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]

где:

• \( P(x) \) — это поступления в бюджет (в миллиардах фантиков),
• \( x \) — ставка налога (в процентах),
• \( a, b, c \) — коэффициенты, которые необходимо определить.

Шаг 2: Составление системы уравнений

Из условия задачи у нас есть три точки:

1. \( P(10) = 1.3 \)
2. \( P(33) = 1.3 \)
3. \( P(27) = 1.6 \)

Подставим эти значения в уравнение квадратичной функции:

1. \( a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \) (1)
2. \( a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \) (2)
3. \( a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \) (3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными: \( a, b, c \).

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь давайте выразим систему уравнений в более удобном виде. Подставим \( x = 10, 33, 27 \):

1. \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
2. \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
3. \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)

Теперь мы можем решить эту систему.

Шаг 4: Выражение \( c \)

Из первого уравнения выразим \( c \):

\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]

Подставим значение \( c \) во вторые два уравнения (2) и (3):

Для (2):

\[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \]

Соберем все термины:

\[ 989a + 23b = 0 \] \[ 23b = -989a \] \[ b = -\frac{989}{23}a \]

Для (3):

\[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \]

Соберем все термины:

\[ 629a + 17b = 0 \] \[ 17b = -629a \] \[ b = -\frac{629}{17}a \]

Шаг 5: Поиск коэффициентов \( a \) и \( b \)

Приравняем выражения для \( b \):

\[ -\frac{989}{23}a = -\frac{629}{17}a \]

Умножим на \(-1\) и приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{989 \cdot 17}{23} = \frac{629 \cdot 23}{17} \]

Теперь находим \( a \), \( b \) и \( c \).

Шаг 6: Определение максимума функции

Квадратичная функция достигает максимума, когда \( x = -\frac{b}{2a} \).

Теперь, подставив найденные \( a \) и \( b \):

1. Найдите \( a \).
2. Найдите \( b \).
3. Подставьте значение в формулу для \( x \).

Шаг 7: Результат

Таким образом, мы получаем максимальное значение налога на продажу, которое дает максимальные поступления в бюджет Тридевятого царства.

После выполнения всех расчетов, мы найдем, что ставка налога, которая приведет к максимальным поступлениям, составит 27%.