Найти первообразную sin^2x+cos^2x+1/3sin3x
Для нахождения первообразной функции \( \sin^2 x + \cos^2 x + \frac{1}{3} \sin 3x \) мы можем воспользоваться несколькими известными тригонометрическими и интегральными свойствами.
Шаг 1: Упрощение выражения
Первое, что стоит заметить, это то, что \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Это знаменитая тригонометрическая идентичность, которая справедлива для любого значения \( x \).
Таким образом, наше выражение можно упростить следующим образом: \[ \sin^2 x + \cos^2 x + \frac{1}{3} \sin 3x = 1 + \frac{1}{3} \sin 3x \]
Шаг 2: Нахождение первообразной
Теперь нам нужно найти первообразную для функции \( 1 + \frac{1}{3} \sin 3x \).
- Первообразная для константы \( 1 \) равна \( x \).
- Первообразная для \( \frac{1}{3} \sin 3x \) вычисляется по формуле: \[ \int \sin kx \, dx = -\frac{1}{k} \cos kx + C \] где \( C \) — произвольная константа интегрирования. В нашем случае, \( k = 3 \): \[ \int \frac{1}{3} \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3 \cdot 3} \cos 3x + C = -\frac{1}{9} \cos 3x + C \]
Теперь подставим найденные первообразные в общее выражение:
\[ \int \left( 1 + \frac{1}{3} \sin 3x \right) \, dx = x - \frac{1}{9} \cos 3x + C \]
Шаг 3: Запись окончательного ответа
Таким образом, первообразная функции \( \sin^2 x + \cos^2 x + \frac{1}{3} \sin 3x \) равна: \[ F(x) = x - \frac{1}{9} \cos 3x + C \]
Где \( C \) — произвольная константа.
Это все шаги, которые мы выполнили для нахождения первообразной указанной функции. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснить какой-либо шаг, дайте знать!
