Найти первообразную sin^2x+cos^2x+1/3sin3x

Для нахождения первообразной функции \( \sin^2 x + \cos^2 x + \frac{1}{3} \sin 3x \) мы можем воспользоваться несколькими известными тригонометрическими и интегральными свойствами. ### Шаг 1: Упрощение выражения Первое, что стоит заметить, это то, что \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Это знаменитая тригонометрическая идентичность, которая справедлива для любого значения \( x \). Таким образом, наше выражение можно упростить следующим образом: \[ \sin^2 x + \cos^2 x + \frac{1}{3} \sin 3x = 1 + \frac{1}{3} \sin 3x \] ### Шаг 2: Нахождение первообразной Теперь нам нужно найти первообразную для функции \( 1 + \frac{1}{3} \sin 3x \). 1. Первообразная для константы \( 1 \) равна \( x \). 2. Первообразная для \( \frac{1}{3} \sin 3x \) вычисляется по формуле: \[ \int \sin kx \, dx = -\frac{1}{k} \cos kx + C \] где \( C \) — произвольная константа интегрирования. В нашем случае, \( k = 3 \): \[ \int \frac{1}{3} \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3 \cdot 3} \cos 3x + C = -\frac{1}{9} \cos 3x + C \] Теперь подставим найденные первообразные в общее выражение: \[ \int \left( 1 + \frac{1}{3} \sin 3x \right) \, dx = x - \frac{1}{9} \cos 3x + C \] ### Шаг 3: Запись окончательного ответа Таким образом, первообразная функции \( \sin^2 x + \cos^2 x + \frac{1}{3} \sin 3x \) равна: \[ F(x) = x - \frac{1}{9} \cos 3x + C \] Где \( C \) — произвольная константа. Это все шаги, которые мы выполнили для нахождения первообразной указанной функции. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснить какой-либо шаг, дайте знать!