Давайте разберем каждую из задач по порядку. Я предоставлю подробные объяснения, чтобы вы могли понять каждое решение.
Задача 1
Вопрос: В прямоугольном треугольнике один катет равен 15 см, гипотенуза 17 см. Найдите другой катет.
Решение:
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора справедливо следующее равенство:
( c^2 = a^2 + b^2 )
где:
- ( c ) — длина гипотенузы,
- ( a ) и ( b ) — длины катетов.
В данном случае:
- ( c = 17 ) см,
- ( a = 15 ) см,
- ( b ) — это катет, который нам нужно найти.
Подставим известные значения в формулу:
[
17^2 = 15^2 + b^2
]
Посчитаем квадраты:
[
289 = 225 + b^2
]
Вычтем ( 225 ) с обеих сторон:
[
289 - 225 = b^2
]
[
64 = b^2
]
Теперь найдём ( b ):
[
b = \sqrt{64} = 8 \text{ см}
]
Ответ: Другой катет равен 8 см.
Задача 2
Вопрос: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29 см, а высота, проведенная к основанию, равна 21 см. Чему равно основание треугольника?
Решение:
Обозначим основание равнобедренного треугольника как ( x ). Высота, проведенная к основанию, делит основание на две равные части, так что каждая часть равна ( \frac{x}{2} ).
Используем теорему Пифагора для одного из треугольников, образованных высотой:
[
29^2 = 21^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2
]
Посчитаем квадраты:
[
841 = 441 + \left(\frac{x}{2}\right)^2
]
Вычтем ( 441 ):
[
841 - 441 = \left(\frac{x}{2}\right)^2
]
[
400 = \left(\frac{x}{2}\right)^2
]
Найдём ( \frac{x}{2} ):
[
\frac{x}{2} = \sqrt{400} = 20
]
Умножим обе стороны на 2, чтобы найти ( x ):
[
x = 20 \times 2 = 40 \text{ см}
]
Ответ: Основание треугольника равно 40 см.
Задача 3
Вопрос: Стороны треугольника равны 36 см, 25 см и 29 см. Найдите высоту, проведенную к большей стороне.
Решение:
Сначала определим, какая из сторон является большей. В данном треугольнике это сторона, равная 36 см.
Для нахождения высоты, проведенной к этой стороне, можно использовать формулу для площади треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times h
]
где ( a ) — основание (36 см), ( h ) — высота к этому основанию.
Сначала найдем площадь треугольника, используя формулу Герона. Она гласит:
[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
]
где ( s = \frac{a+b+c}{2} ) — полупериметр, а ( a, b, c ) — длины сторон треугольника.
Сначала найдем полупериметр:
[
s = \frac{36 + 29 + 25}{2} = 45 \text{ см}
]
Теперь можем подставить в формулу для площади:
[
S = \sqrt{45(45-36)(45-29)(45-25)}
]
[
S = \sqrt{45 \times 9 \times 16 \times 20}
]
[
S = \sqrt{45 \times 2880}
]
Теперь найдем ( S ) и высоту ( h ):
[
S = 60 \times 12 = 720 \text{ см}^2
]
Теперь подставим ( S ) в формулу площади для нахождения высоты:
[
720 = \frac{1}{2} \times 36 \times h
]
Решим для ( h ):
[
h = \frac{720 \times 2}{36} = 40 \text{ см}
]
Ответ: Высота, проведенная к большей стороне, равна 40 см.
Задача 4
Вопрос: Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Вычислите периметр ромба.
Решение:
В ромбе диагонали пересекаются под углом 90 градусов и делят друг друга пополам. Обозначим диагонали как ( d_1 = 30 ) см и ( d_2 = 40 ) см.
Таким образом, половинки диагоналей имеют длины:
[
\frac{d_1}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}
]
[
\frac{d_2}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см}
]
Теперь, чтобы найти сторону ромба, воспользуемся теоремой Пифагора:
[
s = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}
]
[
s = \sqrt{15^2 + 20^2}
]
[
s = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}
]
Периметр ромба ( P ) равен:
[
P = 4s = 4 \times 25 = 100 \text{ см}
]
Ответ: Периметр ромба равен 100 см.
