Для решения задачи, давайте поэтапно разберем предоставленные данные и применим их к условиям задачи.
Дано:
- 80% восьмиклассников верно находят дискриминант (это (P(D))).
- Из тех, кто верно находит дискриминант, 70% верно получают корни (это (P(K|D))).
- 8% восьмиклассников не вычисляют дискриминант, но верно находят корни (это (P(K|не\ D))).
Нам надо найти:
Долю тех, кто верно находит дискриминант, среди тех, кто верно находит корни. Это можно выразить как (P(D|K)).
Шаг 1: Подсчёт вероятностей
Обозначим:
- (N) – общее количество восьмиклассников.
- (D) – событие, что восьмиклассник верно находит дискриминант.
- (K) – событие, что восьмиклассник верно находит корни.
Найдем количество студентов в разных категориях:
Те, кто найдёт дискриминант:
[
P(D) = 0.8 \cdot N
]
Те, кто, найдя дискриминант, верно определяют корни:
[
P(K|D) = 0.7 \text{ из } P(D) \implies 0.7 \cdot (0.8 \cdot N) = 0.56 \cdot N
]
Те, кто умеет находить корни, но не вычисляют дискриминант:
Характеризуется как 8% от общего количества:
[
P(K|не\ D) = 0.08 \cdot N
]
Шаг 2: Общее количество, кто правильно находит корни
Теперь для нахождения всех, кто верно находит корни (то есть событие (K)):
[
P(K) = P(K|D) + P(K|не\ D) = 0.56 \cdot N + 0.08 \cdot N = 0.64 \cdot N
]
Шаг 3: Применение формулы Байеса
По формуле условной вероятности:
[
P(D|K) = \frac{P(K|D) \cdot P(D)}{P(K)}
]
Подставляем известные значения:
- (P(K|D) = 0.56 \cdot N)
- (P(D) = 0.8 \cdot N)
- (P(K) = 0.64 \cdot N)
Теперь подставляем это в формулу:
[
P(D|K) = \frac{(0.56 \cdot N) \cdot (0.8 \cdot N)}{0.64 \cdot N}
]
[
P(D|K) = \frac{0.448 \cdot N^2}{0.64 \cdot N} = \frac{0.448}{0.64}
]
[
P(D|K) = 0.7
]
Ответ
Таким образом, доля тех, кто верно находит дискриминант, среди тех, кто верно находит корни, составляет 70%. Ответ в процентах: 70%.
