Сколько существует подмножеств множества {1,...,12} , содержащих ровно одну пару последовательных чисел?

Чтобы найти количество подмножеств множества {1,...,12}, содержащих ровно одну пару последовательных чисел, рассмотрим следующий алгоритм: 1. **Определение задачи**: Подмножество должно содержать ровно одну пару последовательных чисел. Это значит, что если мы выберем какую-то пару, например, (k, k+1), то никакие другие последовательные числа не могут входить в подмножество. 2. **Выбор пары последовательных чисел**: В множестве {1,...,12} возможные пары последовательных чисел — это: - (1, 2) - (2, 3) - (3, 4) - (4, 5) - (5, 6) - (6, 7) - (7, 8) - (8, 9) - (9, 10) - (10, 11) - (11, 12) Всего 11 таких пар. 3. **Формирование подмножеств с одной парой**: - После выбора пары (k, k+1) мы берем подмножество, содержащее только эту пару, и можем добавлять к нему любые другие числа из оставшегося ряда, не принадлежащих к соседям данной пары. Например, если выбрана пара (k, k+1), то вы не можете добавить (k-1) и (k+2) в подмножество, чтобы не нарушить условие о наличии ровно одной пары последовательных чисел. 4. **Определим количество доступных чисел после выбора пары**: - Например, если выбрана пара (1, 2), то мы можем добавлять любые числа из {3, 4, 5, ..., 12}, что дает 10 доступных чисел. - Если выбрана пара (2, 3), то можно добавлять из {1, 4, 5, ..., 12}, что также дает 10 доступных чисел. - Пара (3, 4) — доступные числа {1, 2, 5, ..., 12} — 10 чисел. - И так далее, пока не доберёмся до пары (11, 12), где мы можем добавлять числа из {1, 2, ..., 10}, что также даст 10 чисел. Таким образом, для каждой из 11 пар (к, к+1) у нас есть 10 различных чисел (из оставшейся части) для выбора. Каждое из этих чисел может быть выбрано или не выбрано. 5. **Комбинации**: Таким образом, для каждой пары у нас есть 2 возможности (включить число или не включить его). Учитывая, что мы можем выбирать из 10 чисел: - Количество подмножеств, которые могут быть сформированы из 10 чисел, будет равно \(2^{10}\). 6. **Итоговое количество подмножеств**: Поскольку у нас 11 пар, и для каждой из них мы можем сформировать \(2^{10}\) подмножеств, общее количество подмножеств будет равно: \[ 11 \times 2^{10} \] 7. **Вычисление**: Рассчитаем это количество: - \(2^{10} = 1024\) - \(11 \times 1024 = 11264\) Таким образом, количество подмножеств множества {1,...,12}, содержащих ровно одну пару последовательных чисел, равно **11264**.