Сколько существует подмножеств множества {1,...,12} , содержащих ровно одну пару последовательных чисел?

Чтобы найти количество подмножеств множества {1,...,12}, содержащих ровно одну пару последовательных чисел, рассмотрим следующий алгоритм:

1. Определение задачи: Подмножество должно содержать ровно одну пару последовательных чисел. Это значит, что если мы выберем какую-то пару, например, (k, k+1), то никакие другие последовательные числа не могут входить в подмножество.

2. Выбор пары последовательных чисел: В множестве {1,...,12} возможные пары последовательных чисел — это:

   • (1, 2)
   • (2, 3)
   • (3, 4)
   • (4, 5)
   • (5, 6)
   • (6, 7)
   • (7, 8)
   • (8, 9)
   • (9, 10)
   • (10, 11)
   • (11, 12)

   Всего 11 таких пар.

3. Формирование подмножеств с одной парой:

   • После выбора пары (k, k+1) мы берем подмножество, содержащее только эту пару, и можем добавлять к нему любые другие числа из оставшегося ряда, не принадлежащих к соседям данной пары.

   Например, если выбрана пара (k, k+1), то вы не можете добавить (k-1) и (k+2) в подмножество, чтобы не нарушить условие о наличии ровно одной пары последовательных чисел.

4. Определим количество доступных чисел после выбора пары:

   • Например, если выбрана пара (1, 2), то мы можем добавлять любые числа из {3, 4, 5, ..., 12}, что дает 10 доступных чисел.
   • Если выбрана пара (2, 3), то можно добавлять из {1, 4, 5, ..., 12}, что также дает 10 доступных чисел.
   • Пара (3, 4) — доступные числа {1, 2, 5, ..., 12} — 10 чисел.
   • И так далее, пока не доберёмся до пары (11, 12), где мы можем добавлять числа из {1, 2, ..., 10}, что также даст 10 чисел.

Таким образом, для каждой из 11 пар (к, к+1) у нас есть 10 различных чисел (из оставшейся части) для выбора. Каждое из этих чисел может быть выбрано или не выбрано.

5. Комбинации: Таким образом, для каждой пары у нас есть 2 возможности (включить число или не включить его). Учитывая, что мы можем выбирать из 10 чисел:

   • Количество подмножеств, которые могут быть сформированы из 10 чисел, будет равно \(2^{10}\).

6. Итоговое количество подмножеств: Поскольку у нас 11 пар, и для каждой из них мы можем сформировать \(2^{10}\) подмножеств, общее количество подмножеств будет равно: \[ 11 \times 2^{10} \]

7. Вычисление: Рассчитаем это количество:

   • \(2^{10} = 1024\)
   • \(11 \times 1024 = 11264\)

Таким образом, количество подмножеств множества {1,...,12}, содержащих ровно одну пару последовательных чисел, равно 11264.