О

Судя по изображению, у нас есть тригонометрическая задача. Давайте рассмотрим задачу 347:

Найдите значение выражения:

\[ a \sin \varphi = \frac{4}{3}, \] \[ a \cos \varphi = \frac{\sqrt{5}}{3}. \]

Нужно найти \( a \).

Решение:

1. Формула для нахождения \( a \):

   Мы имеем два уравнения:

   \[ a \sin \varphi = \frac{4}{3} \]

   \[ a \cos \varphi = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

   Чтобы найти \( a \), воспользуемся формулой тригонометрической тождества:

   \[ (\sin \varphi)^2 + (\cos \varphi)^2 = 1 \]

2. Выражаем \(\sin \varphi\) и \(\cos \varphi\):

   Из первого уравнения:

   \[ \sin \varphi = \frac{4}{3a} \]

   Из второго уравнения:

   \[ \cos \varphi = \frac{\sqrt{5}}{3a} \]

3. Подставляем в тригонометрическое тождество:

   \[ \left(\frac{4}{3a}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{3a}\right)^2 = 1 \]

   Раскроем скобки:

   \[ \frac{16}{9a^2} + \frac{5}{9a^2} = 1 \]

   Сложим дроби:

   \[ \frac{16 + 5}{9a^2} = 1 \]

   \[ \frac{21}{9a^2} = 1 \]

4. Решаем полученное уравнение:

   Умножим обе части уравнения на \(9a^2\):

   \[ 21 = 9a^2 \]

   Разделим обе части на 9:

   \[ a^2 = \frac{21}{9} \]

   \[ a^2 = \frac{7}{3} \]

   Найдем \( a \):

   \[ a = \sqrt{\frac{7}{3}} \]

   То есть:

   \[ a = \frac{\sqrt{21}}{3} \]

Таким образом, \( a = \frac{\sqrt{21}}{3} \).