О

Судя по изображению, у нас есть тригонометрическая задача. Давайте рассмотрим задачу 347: Найдите значение выражения: \[ a \sin \varphi = \frac{4}{3}, \] \[ a \cos \varphi = \frac{\sqrt{5}}{3}. \] Нужно найти \( a \). ### Решение: 1. **Формула для нахождения** \( a \): Мы имеем два уравнения: \[ a \sin \varphi = \frac{4}{3} \] \[ a \cos \varphi = \frac{\sqrt{5}}{3} \] Чтобы найти \( a \), воспользуемся формулой тригонометрической тождества: \[ (\sin \varphi)^2 + (\cos \varphi)^2 = 1 \] 2. **Выражаем \(\sin \varphi\) и \(\cos \varphi\):** Из первого уравнения: \[ \sin \varphi = \frac{4}{3a} \] Из второго уравнения: \[ \cos \varphi = \frac{\sqrt{5}}{3a} \] 3. **Подставляем в тригонометрическое тождество:** \[ \left(\frac{4}{3a}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{3a}\right)^2 = 1 \] Раскроем скобки: \[ \frac{16}{9a^2} + \frac{5}{9a^2} = 1 \] Сложим дроби: \[ \frac{16 + 5}{9a^2} = 1 \] \[ \frac{21}{9a^2} = 1 \] 4. **Решаем полученное уравнение:** Умножим обе части уравнения на \(9a^2\): \[ 21 = 9a^2 \] Разделим обе части на 9: \[ a^2 = \frac{21}{9} \] \[ a^2 = \frac{7}{3} \] Найдем \( a \): \[ a = \sqrt{\frac{7}{3}} \] То есть: \[ a = \frac{\sqrt{21}}{3} \] Таким образом, \( a = \frac{\sqrt{21}}{3} \).