Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить задачу, мы можем использовать свойства квадратичной функции. Давайте обозначим налоговую ставку за \( x \) (в процентах), а поступления в бюджет (в миллиардов фантиков) за \( f(x) \).
Из условия задачи мы знаем три точки:
- \( f(10) = 1.3 \)
- \( f(33) = 1.3 \)
- \( f(27) = 1.6 \)
Эти точки дадут нам возможность построить квадратичную функцию в форме: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
Однако, учитывая, что значение функции при ставках 10% и 33% одинаково, это также означает, что функция имеет симметричность (максимум будет на середине между этими значениями).
Чтобы найти координаты вершины (максимум функции), воспользуемся формулой для нахождения вершины параболы, заданной уравнением \( y = ax^2 + bx + c \): \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Но в нашем случае мы можем более быстро найти место максимума, исходя из симметрии. Ставки налогов 10% и 33% дают одинаковые налоговые поступления, а сумма этих ставок: \[ 10 + 33 = 43 \] Середина между ними: \[ \frac{43}{2} = 21.5 \]
В промежутке между ними у нас есть точка 27%, где поступления уже больше (1.6 млрд фантиков). Таким образом, можем сделать вывод, что максимум будет находиться между 21.5% и 27%.
Для точного нахождения максимума, давайте используем известный факт о данном множестве точек. Мы определим функцию на основе этих трех значений.
Парабола имеет вид: \[ f(x) = a(x-10)(x-33) + 1.3 \] где \( a \) — коэффициент, который определяет "направление" параболы. Чтобы найти значение \( a \), подставим 27% в уравнение.
- Подставляем: \[ f(27) = a(27-10)(27-33) + 1.3 = 1.6 \] \[ a(17)(-6) + 1.3 = 1.6 \] \[ -102a + 1.3 = 1.6 \] \[ -102a = 0.3 \implies a = -\frac{0.3}{102} = -\frac{1}{340} \]
Теперь можем составить полное уравнение с найденным \( a \): \[ f(x) = -\frac{1}{340}(x-10)(x-33) + 1.3 \]
Чтобы определить максимальные поступления, находим вершину параболы: \[ x_{max} = \frac{10 + 33}{2} = 21.5 \]
Рядом уже есть значение 27% с более высокими поступлениями, так что значение в 21.5% будет эффектно закрываться к максимальному числу поступлений в самом чертеже.
Ответ: Максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к наибольшим поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет 27%.
