Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения задачи о вероятности отказа узлов нам нужно использовать распределение Бернулли, а также формулу биномиального распределения.

Шаг 1: Определение параметров задачи

У нас есть:

• Общее количество узлов \( n = 10 \)
• Вероятность безотказной работы каждого узла \( p = 0,8 \)
• Следовательно, вероятность отказа узла будет \( q = 1 - p = 0,2 \)
• Мы хотим найти вероятность того, что откажут \( k = 4 \) узла.

Шаг 2: Использование биномиального распределения

Вероятность того, что в \( n \) независимых испытаниях произойдёт ровно \( k \) успехов (в нашем случае "успехом" будет отказ узла) может быть рассчитана по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]

где:

• \( \binom{n}{k} \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляет количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \).
• \( p \) — вероятность успеха.
• \( q \) — вероятность неуспеха.

Шаг 3: Подстановка значений

Теперь подставим значения в формулу:

1. Вычислим биномиальный коэффициент: \[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

2. Теперь найдем \( p^k \) и \( q^{n-k} \):

   • \( p^k = 0,2^4 = 0,0016 \)
   • \( q^{n-k} = 0,8^{10-4} = 0,8^6 = 0,262144 \)

3. Подставим в формулу: \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,0016 \cdot 0,262144 \]

Шаг 4: Умножение и финальный расчет

Теперь вычислим: \[ P(X = 4) = 210 \times 0,0016 \times 0,262144 \approx 0,08808 \]

Шаг 5: Ответ

Таким образом, вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет примерно \( 0,088 \) или 8,8%.

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!