Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 4 узла.

Для решения задачи о вероятности отказа узлов нам нужно использовать распределение Бернулли, а также формулу биномиального распределения. ### Шаг 1: Определение параметров задачи У нас есть: - Общее количество узлов \( n = 10 \) - Вероятность безотказной работы каждого узла \( p = 0,8 \) - Следовательно, вероятность отказа узла будет \( q = 1 - p = 0,2 \) - Мы хотим найти вероятность того, что откажут \( k = 4 \) узла. ### Шаг 2: Использование биномиального распределения Вероятность того, что в \( n \) независимых испытаниях произойдёт ровно \( k \) успехов (в нашем случае "успехом" будет отказ узла) может быть рассчитана по формуле биномиального распределения: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \] где: - \( \binom{n}{k} \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляет количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \). - \( p \) — вероятность успеха. - \( q \) — вероятность неуспеха. ### Шаг 3: Подстановка значений Теперь подставим значения в формулу: 1. Вычислим биномиальный коэффициент: \[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \] 2. Теперь найдем \( p^k \) и \( q^{n-k} \): - \( p^k = 0,2^4 = 0,0016 \) - \( q^{n-k} = 0,8^{10-4} = 0,8^6 = 0,262144 \) 3. Подставим в формулу: \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,0016 \cdot 0,262144 \] ### Шаг 4: Умножение и финальный расчет Теперь вычислим: \[ P(X = 4) = 210 \times 0,0016 \times 0,262144 \approx 0,08808 \] ### Шаг 5: Ответ Таким образом, вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет примерно \( 0,088 \) или 8,8%. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!