Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой для нахождения вероятности в биномиальном распределении. В данном случае у нас есть вероятность того, что деталь нестандартная, равная 0,1, а значит, вероятность того, что деталь стандартная, равна:
[
P(\text{стандартная}) = 1 - P(\text{нестандартная}) = 1 - 0,1 = 0,9
]
Теперь обозначим необходимые параметры:
- ( n = 6 ) — общее количество деталей.
- ( k = 5 ) — количество стандартных деталей, которые мы хотим получить.
- ( p = 0,9 ) — вероятность того, что деталь стандартная.
- ( q = 1 - p = 0,1 ) — вероятность того, что деталь нестандартная.
Для нахождения вероятности того, что из 6 деталей ровно 5 будут стандартными, мы используем формулу биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Теперь подставим наши значения в формулу:
- Вычислим биномиальный коэффициент ( C(6, 5) ):
[
C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6
]
- Теперь подставим ( C(6, 5) ), ( p ) и ( q ) в формулу вероятности:
[
P(X = 5) = C(6, 5) \cdot p^5 \cdot q^{6-5}
]
- Подставляем значения:
[
P(X = 5) = 6 \cdot (0,9)^5 \cdot (0,1)^1
]
- Вычислим ( (0,9)^5 ):
[
(0,9)^5 = 0,59049
]
- Теперь мы можем подставить это значение в формулу:
[
P(X = 5) = 6 \cdot 0,59049 \cdot 0,1
]
- Умножаем:
[
P(X = 5) = 6 \cdot 0,59049 \cdot 0,1 = 0,354294
]
Таким образом, вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными, составляет примерно:
[
P(X = 5) \approx 0,3543
]
Это означает, что шанс очень высок, так как это примерно 35,43%.
