2. Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,1. Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными?
Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой для нахождения вероятности в биномиальном распределении. В данном случае у нас есть вероятность того, что деталь нестандартная, равная 0,1, а значит, вероятность того, что деталь стандартная, равна:
\[ P(\text{стандартная}) = 1 - P(\text{нестандартная}) = 1 - 0,1 = 0,9 \]
Теперь обозначим необходимые параметры:
- \( n = 6 \) — общее количество деталей.
- \( k = 5 \) — количество стандартных деталей, которые мы хотим получить.
- \( p = 0,9 \) — вероятность того, что деталь стандартная.
- \( q = 1 - p = 0,1 \) — вероятность того, что деталь нестандартная.
Для нахождения вероятности того, что из 6 деталей ровно 5 будут стандартными, мы используем формулу биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь подставим наши значения в формулу:
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C(6, 5) \):
\[ C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6 \]
- Теперь подставим \( C(6, 5) \), \( p \) и \( q \) в формулу вероятности:
\[ P(X = 5) = C(6, 5) \cdot p^5 \cdot q^{6-5} \]
- Подставляем значения:
\[ P(X = 5) = 6 \cdot (0,9)^5 \cdot (0,1)^1 \]
- Вычислим \( (0,9)^5 \):
\[ (0,9)^5 = 0,59049 \]
- Теперь мы можем подставить это значение в формулу:
\[ P(X = 5) = 6 \cdot 0,59049 \cdot 0,1 \]
- Умножаем:
\[ P(X = 5) = 6 \cdot 0,59049 \cdot 0,1 = 0,354294 \]
Таким образом, вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными, составляет примерно:
\[ P(X = 5) \approx 0,3543 \]
Это означает, что шанс очень высок, так как это примерно 35,43%.
