Найди площадь фигуры, заданной системой неравенств: { x ≤ 3 y ≤ 6 y + 2 x ≥ 5 ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x≤3 y≤6 y+2x≥5 Запиши число в поле ответа. S = S=
Чтобы найти площадь фигуры, заданной системой неравенств, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Построение неравенств на координатной плоскости
Рассмотрим каждое неравенство в системе:
\( x \leq 3 \): Это неравенство задает вертикальную прямую \( x = 3 \) и все области слева от нее. Линия применяется с твердой границей, так как включено равенство.
\( y \leq 6 \): Это неравенство задает горизонтальную прямую \( y = 6 \) и все области ниже этой прямой. Линия также применяется с твердой границей.
\( y + 2x \geq 5 \): Перепишем это неравенство: \[ y \geq 5 - 2x \] Это неравенство задает область выше прямой \( y = 5 - 2x \).
Шаг 2: Нахождение точек пересечения
Теперь находим точки пересечения границ, чтобы составить фигуру:
Пересечение \( y = 5 - 2x \) и \( y = 6 \): \[ 6 = 5 - 2x \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \] Точка: \( (-\frac{1}{2}, 6) \).
Пересечение \( y = 5 - 2x \) и \( x = 3 \): \[ y = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1 \] Точка: \( (3, -1) \).
Пересечение \( x = 3 \) и \( y = 6 \): \[ Точка: (3, 6) \]
Шаг 3: Определение вершин фигуры
Теперь у нас есть 3 точки:
- \( A(-\frac{1}{2}, 6) \)
- \( B(3, 6) \)
- \( C(3, -1) \)
Шаг 4: Изображение фигуры
332-04
Наша фигура - это треугольник, образованный точками \( A \), \( B \) и \( C \).
Шаг 5: Нахождение площади треугольника
Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \] В данном случае:
Основание \( AB \): Это расстояние между точками \( A \) и \( B \), равно \( 3 - (-\frac{1}{2}) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \).
Высота: Это расстояние по вертикали от точки \( C(3, -1) \) до линии \( y = 6 \), равно \( 6 - (-1) = 6 + 1 = 7 \).
Теперь подставим в формулу: \[ S = \frac{1}{2} \times \frac{7}{2} \times 7 = \frac{1}{2} \times \frac{49}{2} = \frac{49}{4} = 12.25 \]
Ответ
Площадь фигуры равна \( S = 12.25 \).
