Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1, А2, А3, А4 и площадь треугольника А1, А2, А3 А1(14, 4, 5), А2(-5, -3, 2), А3(-2, -6, -3), А4 (-2, 2, 1)

Чтобы вычислить объем тетраэдра с вершинами \(A_1, A_2, A_3, A_4\), мы можем воспользоваться формулой:

\[ V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{pmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \end{pmatrix} \right| \]

где \( A_1(x_1, y_1, z_1) \), \( A_2(x_2, y_2, z_2) \), \( A_3(x_3, y_3, z_3) \) и \( A_4(x_4, y_4, z_4) \).

Подставим координаты точек:

• \( A_1(14, 4, 5) \)
• \( A_2(-5, -3, 2) \)
• \( A_3(-2, -6, -3) \)
• \( A_4(-2, 2, 1) \)

Теперь вычислим векторы: \[ \begin{aligned} & A_2 - A_1 = (-5 - 14, -3 - 4, 2 - 5) = (-19, -7, -3) \\ & A_3 - A_1 = (-2 - 14, -6 - 4, -3 - 5) = (-16, -10, -8) \\ & A_4 - A_1 = (-2 - 14, 2 - 4, 1 - 5) = (-16, -2, -4) \end{aligned} \]

Теперь составим матрицу: \[ \begin{pmatrix} -19 & -7 & -3 \\ -16 & -10 & -8 \\ -16 & -2 & -4 \end{pmatrix} \]

Теперь найдем определитель этой матрицы:

\[ \det = -19 \begin{vmatrix} -10 & -8 \\ -2 & -4 \end{vmatrix} + 7 \begin{vmatrix} -16 & -8 \\ -16 & -4 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -16 & -10 \\ -16 & -2 \end{vmatrix} \]

Вычислим определители 2x2:

1. \(\begin{vmatrix} -10 & -8 \\ -2 & -4 \end{vmatrix} = (-10) \cdot (-4) - (-8) \cdot (-2) = 40 - 16 = 24\)
2. \(\begin{vmatrix} -16 & -8 \\ -16 & -4 \end{vmatrix} = (-16) \cdot (-4) - (-8) \cdot (-16) = 64 - 128 = -64\)
3. \(\begin{vmatrix} -16 & -10 \\ -16 & -2 \end{vmatrix} = (-16) \cdot (-2) - (-10) \cdot (-16) = 32 - 160 = -128\)

Теперь можем подставить: \[ \det = -19 \cdot 24 + 7 \cdot (-64) - 3 \cdot (-128) \] \[ \det = -456 - 448 + 384 = -520 \]

Теперь вычислим объем: \[ V = \frac{1}{6} | -520 | = \frac{520}{6} = \frac{260}{3} \approx 86.67 \]

Теперь для вычисления площади треугольника \(A_1, A_2, A_3\) используем формулу:

\[ S = \frac{1}{2} | \vec{A_2-A_1} \times \vec{A_3-A_1} | \]

Сначала найдем векторы: \[ \begin{aligned} & A_2 - A_1 = (-19, -7, -3) \\ & A_3 - A_1 = (-16, -10, -8) \end{aligned} \]

Теперь находим их векторное произведение: \[ \vec{A_2 - A_1} \times \vec{A_3 - A_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -19 & -7 & -3 \\ -16 & -10 & -8 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель: \[ \hat{i} \begin{vmatrix} -7 & -3 \\ -10 & -8 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} -19 & -3 \\ -16 & -8 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} -19 & -7 \\ -16 & -10 \end{vmatrix} \]

Вычислим детерминанты 2x2:

1. \(\begin{vmatrix} -7 & -3 \\ -10 & -8 \end{vmatrix} = (-7)(-8) - (-3)(-10) = 56 - 30 = 26\)
2. \(\begin{vmatrix} -19 & -3 \\ -16 & -8 \end{vmatrix} = (-19)(-8) - (-3)(-16) = 152 - 48 = 104\)
3. \(\begin{vmatrix} -19 & -7 \\ -16 & -10 \end{vmatrix} = (-19)(-10) - (-7)(-16) = 190 - 112 = 78\)

Теперь подставим: \[ = \hat{i}(26) - \hat{j}(104) + \hat{k}(78) = (26, -104, 78) \]

Теперь найдем модуль векторного произведения: \[ | \vec{A_2 - A_1} \times \vec{A_3 - A_1} | = \sqrt{26^2 + (-104)^2 + 78^2} = \sqrt{676 + 10816 + 6084} = \sqrt{17576} \] \[ = 132.61 \]

Теперь можем найти площадь: \[ S = \frac{1}{2} |132.61| \approx 66.31 \]

Итак, объем тетраэдра \( \approx 86.67 \) и площадь треугольника \( A_1, A_2, A_3 \approx 66.31 \).