решите неравенство (x-1)(x-3)(x-5) > 0. в ответе запишите наименьшее целое решение

Для решения неравенства \((x-1)(x-3)(x-5) > 0\) выполните следующие шаги:

Шаг 1: Найдите корни уравнения

Сначала найдем точки, в которых произведение равно нулю. Это произойдет, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \] \[ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \]

Таким образом, корни уравнения: \(x = 1\), \(x = 3\), \(x = 5\).

Шаг 2: Разделите числовую линию на интервалы

Корни разделяют числовую линию на интервалы:

1. \((- \infty, 1)\)
2. \((1, 3)\)
3. \((3, 5)\)
4. \((5, +\infty)\)

Шаг 3: Определите знак на каждом интервале

Теперь нужно проверить знак произведения в каждом из интервалов. Мы выберем тестовые точки из каждого интервала.

• Для интервала \((- \infty, 1)\): возьмем, например, \(x = 0\) \((0 - 1)(0 - 3)(0 - 5) = (-1)(-3)(-5) = -15\) (отрицательно)

• Для интервала \((1, 3)\): возьмем \(x = 2\) \((2 - 1)(2 - 3)(2 - 5) = (1)(-1)(-3) = 3\) (положительно)

• Для интервала \((3, 5)\): возьмем \(x = 4\) \((4 - 1)(4 - 3)(4 - 5) = (3)(1)(-1) = -3\) (отрицательно)

• Для интервала \((5, +\infty)\): возьмем \(x = 6\) \((6 - 1)(6 - 3)(6 - 5) = (5)(3)(1) = 15\) (положительно)

Шаг 4: Составьте итоговые интервалы

Теперь мы можем определить, где произведение больше нуля:

• \((1, 3)\) — положительное
• \((5, +\infty)\) — положительное

Таким образом, решение неравенства \((x-1)(x-3)(x-5) > 0\) — это объединение интервалов:

\[ x \in (1, 3) \cup (5, +\infty) \]

Шаг 5: Наименьшее целое решение

Теперь найдем наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству.

• В интервале \((1, 3)\) наименьшее целое число — это \(2\).
• В интервале \((5, +\infty)\) наименьшее целое число — это \(6\).

Таким образом, наименьшее целое решение:

\[ \boxed{2} \]