решите неравенство (x-1)/(2-x) >= 0. в ответе укажите наибольшее целое решение

Для решения неравенства \(\frac{x-1}{2-x} \geq 0\) мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Определим, где дробь равна нулю и где она не определена.

1. Найдем, когда числитель равен нулю: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] Это точка, в которой дробь равна нулю.

2. Найдем, когда знаменатель равен нулю: \[ 2 - x = 0 \implies x = 2 \] Это точка, в которой дробь не определена.

Шаг 2: Поставим точки на числовой оси.

У нас есть две критические точки:

• \(x = 1\) (где дробь равна нулю)
• \(x = 2\) (где дробь не определена)

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка:

1. \((- \infty, 1)\)
2. \((1, 2)\)
3. \((2, +\infty)\)

Шаг 3: Изучим знаки функции в каждом промежутке.

Теперь проверим знак дроби в каждом из промежутков.

1. Промежуток \((- \infty, 1)\)

   • Выберем значение \(x = 0\): \[ \frac{0 - 1}{2 - 0} = \frac{-1}{2} < 0 \]
   • Итак, в этом промежутке дробь отрицательна.

2. Промежуток \((1, 2)\)

   • Выберем значение \(x = 1.5\): \[ \frac{1.5 - 1}{2 - 1.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 > 0 \]
   • Дробь положительна.

3. Промежуток \((2, +\infty)\)

   • Выберем значение \(x = 3\): \[ \frac{3 - 1}{2 - 3} = \frac{2}{-1} = -2 < 0 \]
   • Дробь отрицательна.

Шаг 4: Определяем решение неравенства.

Нам нужно, чтобы дробь была больше или равна нулю:

• В промежутке \((1, 2)\) дробь положительна.
• В точке \(x = 1\) дробь равна нулю.
• В точке \(x = 2\) дробь не определена и мы не включаем ее в решение.

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in [1, 2) \]

Шаг 5: Найдем наибольшее целое решение.

Наибольшее целое число в данном промежутке \([1, 2)\) — это 1.

Ответ

Наибольшее целое решение неравенства \(\frac{x-1}{2-x} \geq 0\) — это 1.