(x+3)⁵
Решим задачу по разложению выражения \((x+3)^5\) с помощью теоремы биномов Ньютона. Эта теорема позволяет разложить степень суммы двух членов.
Шаги решения:
Определение формулы: Формула бинома Ньютона для \((a + b)^n\) выглядит следующим образом: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] где \(\binom{n}{k}\) — это биномиальный коэффициент, определяемый как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Применение формулы: В нашем случае:
- \(a = x\)
- \(b = 3\)
- \(n = 5\)
Мы можем подставить эти значения в формулу: \[ (x + 3)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} \cdot 3^k \]
Расчёт биномиальных коэффициентов и членов суммы: Теперь нам нужно вычислить каждый из членов суммы:
Для \(k=0\): \[ \binom{5}{0} x^{5-0} \cdot 3^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 = x^5 \]
Для \(k=1\): \[ \binom{5}{1} x^{5-1} \cdot 3^1 = 5 \cdot x^4 \cdot 3 = 15x^4 \]
Для \(k=2\): \[ \binom{5}{2} x^{5-2} \cdot 3^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 9 = 90x^3 \]
Для \(k=3\): \[ \binom{5}{3} x^{5-3} \cdot 3^3 = 10 \cdot x^2 \cdot 27 = 270x^2 \]
Для \(k=4\): \[ \binom{5}{4} x^{5-4} \cdot 3^4 = 5 \cdot x^1 \cdot 81 = 405x \]
Для \(k=5\): \[ \binom{5}{5} x^{5-5} \cdot 3^5 = 1 \cdot 1 \cdot 243 = 243 \]
Сложение всех членов: Теперь мы можем сложить все найденные элементы: \[ (x + 3)^5 = x^5 + 15x^4 + 90x^3 + 270x^2 + 405x + 243 \]
Ответ:
Таким образом, разложение \((x+3)^5\) будет равно: \[ x^5 + 15x^4 + 90x^3 + 270x^2 + 405x + 243 \]
Эти шаги показывают, как использовать теорему биномов для разложения выражения, обеспечивая понятность процесса.
