Найди верояятность того ччто четверка выпадет ровно четыре раза, если игральную кость бросают 8 раз (результат округли до десятитысячных)

Для решения задачи о вероятности выпадения четверки ровно 4 раза при броске игральной кости 8 раз, мы можем использовать формулу биномиального распределения.

Биномиальное распределение моделирует количество успехов в заданном числе независимых испытаний, где каждое испытание имеет два возможных исхода (успех или неудача).

Параметры задачи:

• n (общее количество бросков) = 8
• k (количество успехов, т.е. выпадений четверки) = 4
• p (вероятность успеха в каждом испытании, т.е. вероятность выпадения четверки) = 1/6, так как в иконой кости 6 граней.

Формула биномиального распределения:

Вероятность того, что событие произойдёт ровно \( k \) раз в \( n \) испытаниях, вычисляется по формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p \) — вероятность успеха (выпадение четверки)
• \( (1-p) \) — вероятность неуспеха (выпадение любой другой грани)

Шаг 1: Найдем биномиальный коэффициент \( C(8, 4) \)

\[ C(8, 4) = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \]

Шаг 2: Подставим известные значения в формулу

Теперь можем подставить все значения в формулу:

\[ P(X = 4) = C(8, 4) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8-4} \]

Шаг 3: Вычислим \( P(X = 4) \)

Сначала вычислим \( \left(\frac{1}{6}\right)^4 \):

\[ \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{1296} \]

Теперь вычислим \( \left(\frac{5}{6}\right)^4 \):

\[ \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \left(\frac{5^4}{6^4}\right) = \frac{625}{1296} \]

Теперь подставим все в формулу:

\[ P(X = 4) = 70 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{625}{1296} \]

Упрощаем выражение:

\[ = 70 \cdot \frac{625}{1296 \cdot 1296} = 70 \cdot \frac{625}{1679616} \]

Теперь, умножим:

\[ = \frac{43750}{1679616} \]

Шаг 4: Вычислим конечный результат

Теперь нужно вычислить \(\frac{43750}{1679616}\) и округлить до десятитысячных:

\[ \approx 0.0260 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что четверка выпадет ровно 4 раза при 8 бросках игральной кости, составляет примерно 0.0260 (или 2.60%).