Найди верояятность того ччто четверка выпадет ровно четыре раза, если игральную кость бросают 8 раз (результат округли до десятитысячных)

Для решения задачи о вероятности выпадения четверки ровно 4 раза при броске игральной кости 8 раз, мы можем использовать формулу биномиального распределения. Биномиальное распределение моделирует количество успехов в заданном числе независимых испытаний, где каждое испытание имеет два возможных исхода (успех или неудача). ### Параметры задачи: - **n** (общее количество бросков) = 8 - **k** (количество успехов, т.е. выпадений четверки) = 4 - **p** (вероятность успеха в каждом испытании, т.е. вероятность выпадения четверки) = 1/6, так как в иконой кости 6 граней. ### Формула биномиального распределения: Вероятность того, что событие произойдёт ровно \( k \) раз в \( n \) испытаниях, вычисляется по формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где: - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - \( p \) — вероятность успеха (выпадение четверки) - \( (1-p) \) — вероятность неуспеха (выпадение любой другой грани) ### Шаг 1: Найдем биномиальный коэффициент \( C(8, 4) \) \[ C(8, 4) = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \] ### Шаг 2: Подставим известные значения в формулу Теперь можем подставить все значения в формулу: \[ P(X = 4) = C(8, 4) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8-4} \] ### Шаг 3: Вычислим \( P(X = 4) \) Сначала вычислим \( \left(\frac{1}{6}\right)^4 \): \[ \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{1296} \] Теперь вычислим \( \left(\frac{5}{6}\right)^4 \): \[ \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \left(\frac{5^4}{6^4}\right) = \frac{625}{1296} \] Теперь подставим все в формулу: \[ P(X = 4) = 70 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{625}{1296} \] Упрощаем выражение: \[ = 70 \cdot \frac{625}{1296 \cdot 1296} = 70 \cdot \frac{625}{1679616} \] Теперь, умножим: \[ = \frac{43750}{1679616} \] ### Шаг 4: Вычислим конечный результат Теперь нужно вычислить \(\frac{43750}{1679616}\) и округлить до десятитысячных: \[ \approx 0.0260 \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что четверка выпадет ровно 4 раза при 8 бросках игральной кости, составляет примерно **0.0260** (или 2.60%).