|2х-3|+|2-х|-|х+4|=1

Чтобы решить уравнение \(|2x - 3| + |2 - x| - |x + 4| = 1\), нам нужно учитывать различные случаи в зависимости от значений \(x\), так как модули могут менять свою знаковую природу.

Шаг 1: Найдем критические точки.

Для выражений под модулями у нас есть:

1. \(2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)
2. \(2 - x = 0 \Rightarrow x = 2\)
3. \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)

Эти точки разделяют числовую ось на следующие интервалы:

1. \(x < -4\)
2. \(-4 \leq x < \frac{3}{2}\)
3. \(\frac{3}{2} \leq x < 2\)
4. \(x \geq 2\)

Шаг 2: Рассмотрим каждый интервал отдельно.

1. Интервал \(x < -4\):

• Здесь \(2x - 3\) отрицательно, \(2 - x\) положительно, \(x + 4\) отрицательно: \[ |2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3 \] \[ |2 - x| = 2 - x \] \[ |x + 4| = -(x + 4) = -x - 4 \]
• Подставим в уравнение: \[ -2x + 3 + 2 - x + 4 = 1 \implies -3x + 9 = 1 \implies -3x = -8 \implies x = \frac{8}{3} \]
• Значение \(x = \frac{8}{3}\) не принадлежит интервалу \(x < -4\).

2. Интервал \(-4 \leq x < \frac{3}{2}\):

• Здесь \(2x - 3\) отрицательно, \(2 - x\) положительно, \(x + 4\) положительно: \[ |2x - 3| = -2x + 3 \] \[ |2 - x| = 2 - x \] \[ |x + 4| = x + 4 \]
• Подставим в уравнение: \[ -2x + 3 + 2 - x - 4 = 1 \implies -3x + 1 = 1 \implies -3x = 0 \implies x = 0 \]
• Значение \(x = 0\) принадлежит интервалу \(-4 \leq x < \frac{3}{2}\).

3. Интервал \(\frac{3}{2} \leq x < 2\):

• Здесь \(2x - 3\) положительно, \(2 - x\) положительно, \(x + 4\) положительно: \[ |2x - 3| = 2x - 3 \] \[ |2 - x| = 2 - x \] \[ |x + 4| = x + 4 \]
• Подставим в уравнение: \[ 2x - 3 + 2 - x - 4 = 1 \implies x - 5 = 1 \implies x = 6 \]
• Значение \(x = 6\) не принадлежит интервалу \(\frac{3}{2} \leq x < 2\).

4. Интервал \(x \geq 2\):

• Здесь все выражения положительные: \[ |2x - 3| = 2x - 3 \] \[ |2 - x| = x - 2 \] \[ |x + 4| = x + 4 \]
• Подставим в уравнение: \[ 2x - 3 + x - 2 - (x + 4) = 1 \implies 2x - 3 + x - 2 - x - 4 = 1 \implies 2x - 9 = 1 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \]
• Значение \(x = 5\) принадлежит интервалу \(x \geq 2\).

Шаг 3: Ответ. Мы нашли два решения: \(x = 0\) и \(x = 5\).

Таким образом, окончательный ответ: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 5. \]