Вариант 1 1.Найдите координаты и длинувектора b, если b = с/2 - d c{б; -2}, df1; -2}. 2.Напишите уравнение окружности с центром в точке C(2; 1), проходящей через точку D(5; 5). 3. Докажите, что четырехугольник MNKP, заданный координатами своих вершин M(2; 2), N(5; 3), K(б; б), P(3; 5), является ромбом, и вычислите его периметр. 4. В прямоугольной системе координат даны векторы а{3;-2} и bf 1; -2). Найдите координаты вектора с = 5a - 9b и его длину. Постройте вектор с, если известно, что его конец совпадает с точкой M(3; 2).

Давайте пошагово разберём каждую задачу. ### Задача 1: Найдите координаты и длину вектора \( \mathbf{b} \) Вектор \( \mathbf{b} \) задан как \( \mathbf{b} = \mathbf{c}/2 - \mathbf{d} \), где \( \mathbf{c} = (b; -2) \), а \( \mathbf{d} = (d; -2) \). Предположим, что вектор \( \mathbf{d} \) также задали его координаты, например, можно взять \( d \) как 0 для примера: 1. **Подставляем вектор \( \mathbf{c} \)**: пусть \( b \) также задано как 0 (то есть \( \mathbf{c} = (0; -2) \)). Тогда: \[ \mathbf{c} = (0; -2), \quad \mathbf{d} = (0; -2). \] 2. **Обрабатываем выражение \( \mathbf{b} \)**: \[ \mathbf{b} = \frac{1}{2} (0, -2) - (0, -2) = (0, -1) - (0, -2) = (0, 1). \] 3. **Теперь найдем длину вектора \( \mathbf{b} \)**: Длина вектора определяется по формуле \( ||\mathbf{b}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \). \[ ||\mathbf{b}|| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1. \] ### Задача 2: Уравнение окружности Центр окружности \( C(2, 1) \) и радиус, который равен расстоянию между центром и точкой \( D(5, 5) \). 1. **Находим радиус**: \[ r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \] 2. **Уравнение окружности** с центром в точке \( C(a; b) \) и радиусом \( r \) имеет вид: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. \] Подставляем \( C(2, 1) \) и радиус \( r = 5 \): \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5^2. \] Или: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25. \] ### Задача 3: Доказать, что четырехугольник MNKP является ромбом и найти его периметр Вершины четырехугольника: \( M(2, 2) \), \( N(5, 3) \), \( K(6, 6) \), \( P(3, 5) \). 1. **Находим длины сторон MN, NK, KP, PM**: - MN: \[ ||MN|| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}. \] - NK: \[ ||NK|| = \sqrt{(6 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}. \] - KP: \[ ||KP|| = \sqrt{(3 - 6)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}. \] - PM: \[ ||PM|| = \sqrt{(2 - 3)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}. \] Так как все стороны равны (\( \sqrt{10} \)), четырехугольник MNKP является ромбом. 2. **Периметр ромба**: \[ P = 4 \cdot \text{длина стороны} = 4 \cdot \sqrt{10}. \] ### Задача 4: Найдите координаты вектора \( \mathbf{c} = 5\mathbf{a} - 9\mathbf{b} \) и его длину Даны векторы \( \mathbf{a} = (3; -2) \) и \( \mathbf{b} = (1; -2) \). 1. **Вычислим координаты вектора \( \mathbf{c} \)**: \[ \mathbf{c} = 5\mathbf{a} - 9\mathbf{b} = 5(3; -2) - 9(1; -2). \] \[ = (15; -10) - (9; -18) = (15 - 9; -10 + 18) = (6; 8). \] 2. **Длина вектора \( \mathbf{c} \)**: \[ ||\mathbf{c}|| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. \] 3. **Построить вектор \( \mathbf{c} \)**: У нас есть начало вектора, которое совпадает с точкой \( M(3; 2) \), тогда его конец будет в: \[ (3 + 6, 2 + 8) = (9, 10). \] Таким образом, вектор \( \mathbf{c} \) с началом в точке \( (3; 2) \) и концом в точке \( (9; 10) \).