Вариант 2. 1) f(x) = 5x^6- 2x - 4,5; 2) f(x) = 3/x^3 - (x√8)/4 + 4 √x; 3) f(x) = sin x (3 - x^2); 4) f(x) = (x + 6) / cos x; 5) f(x) = (3x^3 - 1) • (x + 2);

Давай разберём каждую из этих задач по отдельности, чтобы понять, как работают функции и их графики.

Задача 1: \( f(x) = 5x^6 - 2x - 4.5 \)

1. Анализ функции:

   • Это многочлен шестой степени. Он является непрерывным и гладким на всей области определения.

2. Находим производную: \[ f'(x) = 30x^5 - 2 \] Производная помогает нам определить, где функция возрастает или убывает.

3. Нахождение критических точек: Установим \( f'(x) = 0 \): \[ 30x^5 - 2 = 0 \Rightarrow x^5 = \frac{1}{15} \Rightarrow x = \left(\frac{1}{15}\right)^{1/5} \] Это одна критическая точка.

4. Анализ знака производной:

   • Для \( x < 0 \), \( f'(x) < 0 \) (функция убывает).
   • Для \( x > \left(\frac{1}{15}\right)^{1/5} \), \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает).

5. Найдем значение функции в критической точке и на краях интервала:

   • \( x = -1, 0, 1 \) для анализа значений.
   • Посчитаем:
     • \( f(-1) = 5(-1)^6 - 2(-1) - 4.5 = 5 + 2 - 4.5 = 2.5 \)
     • \( f(0) = 5(0)^6 - 2(0) - 4.5 = -4.5 \)
     • \( f(1) = 5(1)^6 - 2(1) - 4.5 = 5 - 2 - 4.5 = -1.5 \)

Задача 2: \( f(x) = \frac{3}{x^3} - \frac{x\sqrt{8}}{4} + 4\sqrt{x} \)

1. Анализ функции:

   • Эта функция содержит дроби и корни, поэтому нужно учесть область определения: \( x > 0 \).

2. Находим производную: \[ f'(x) = -\frac{9}{x^4} - \frac{\sqrt{8}}{4} + \frac{2}{\sqrt{x}} \]

3. Найдем нули производной:

   • Устанавливаем \( f'(x) = 0 \) и решаем уравнение.

Задача 3: \( f(x) = \sin x (3 - x^2) \)

1. Анализ функции:

   • Здесь высшая степень — это произведение, которое также будет непрерывным и гладким.

2. Находим производную: \[ f'(x) = \cos x (3 - x^2) - \sin x (2x) \]

3. Находим критические точки: Установим, когда \( f'(x) = 0 \).

Задача 4: \( f(x) = \frac{x + 6}{\cos x} \)

1. Анализ функции:

   • Область определения будет зависеть от значений \( \cos x \).

2. Находим производную: \[ f'(x) = \frac{(1)(\cos x) - (x + 6)(-\sin x)}{\cos^2 x} \]

3. Находим критические точки: Решаем \( f'(x) = 0 \).

Задача 5: \( f(x) = (3x^3 - 1)(x + 2) \)

1. Анализ функции:

   • Это произведение многочленов, оно будет гладким.

2. Находим производную: \[ f'(x) = (9x^2)(x + 2) + (3x^3 - 1)(1) \]

3. Находим производные точки: Решаем уравнение \( f'(x) = 0 \).

Заключение

Каждая функция имеет свои особенности. Чтобы лучше понять поведение функции, необходимо проанализировать её производные, критические точки и области определения. Также не забывайте проверять, где функция может иметь разрывы или где значения могут быть некорректными (например, деление на ноль или отрицательные корни).